2021年浙江省金华市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年浙江省金华市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共19页。

 九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.使用直角尺检验某种工件的凹面，成半圆时为合格．在如下列图的三种情况中，合格的是〔   〕

A. 图1                                     B. 图2                                     C. 图3                                     D. 都不对
2.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“Ⅱ〞区域内的概率是〔   〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
3.假设函数 是二次函数，那么m的值为〔   〕
A. ±2                                         B. －2                                         C. 2                                         D. 0
4.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，假设⊙O的直径为8，那么弦AB的长为〔   〕

A.                                         B.                                         C. 4                                        D. 6
5.把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的解析式为〔   〕
A.                  B.                  C.                  D. 
6.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画弧交AC于点F，连结DF，那么∠DFC的度数是〔   〕

A. 70°                                       B. 72°                                       C. 75°                                       D. 78°
7.在以下语句中，正确的选项是〔   〕
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆的内接平行四边形是矩形．
A. ①②                                      B. ②③                                      C. ④                                      D. ②④
8.2021年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G ，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，那么每天多售出4台，以下结论正确的选项是〔   〕
A.   当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元
B. 当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的
C.  的进价是每台500元
D. 零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大
9.如图，BC是⊙O的直径，OA⊥BC于点O，点D在劣弧AC上〔不与点A，C重合〕，BD与OA交于点E．∠AED=65°，那么∠AOD=〔   〕

A. 40°                                      B. 35°                                      C. 32.5°                                      D. 30°
10.如图，AC，BD为⊙O的两条直径，连结AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连结EF，DF，BF，OB与EF交于点P，假设⊙O的半径为1，∠BAC=30°，以下结论错误的选项是〔   〕

A. OCB是等边三角形                       B. EF=                        C. PE=PF                       D. DF=EF
二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.抛物线 的顶点坐标是________．
12.某校为了了解本校九年级男生在“新冠肺炎〞疫情期间每天在家进行锻炼的时长情况，随机抽取了100名九年级男生进行问卷调查，将收集到的数据整理如下：
时间x(分钟〕
x<10
10≤x<20
20≤x<30
30≤x<40
40≤x<50
50 x>60
人数
1
8
10
35
21
15
10
根据以上统计结果，随机抽取该校一名九年级男生，估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是________．
13.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9，那么∠C=________．

14.如图，将一个边长为2的大正方形分成了4个全等的小正方形，阴影局部由3段圆弧围成，大圆弧的半径是2，两个小圆弧的半径都是1，那么阴影局部的面积为________．

15.如图，抛物线 的顶点在直线 上，对称轴为直线 ，以下四个结论：① ；② ；③ ；④当 其中正确的选项是________．〔填序号〕

16.如图，点A的坐标是(6，0)，点C，F分别是直线x=－4与x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连结AD．

〔1〕当点F的坐标是(－4，0)时， ADF的面积为________；
〔2〕在点C，F运动过程中，AD的取值范围是________．
三、解答题〔此题有8小题，共66分〕
17.如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且 ．求证：AB∥CE．

18.2021年8月4日，台风“黑格比〞来袭，东阳南马镇被雨水“围攻〞．如图，当地有一座圆弧形拱桥，跨度AB=60m，拱高PM=18m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30m时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4m时，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．

19.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)三点，请在网格中进行以下操作：

〔1〕在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，得到点D的坐标是________；
〔2〕连结AD，CD，求⊙D的半径及 的长．
20.为了了解某班中考体育测试情况，一名同学把本班体育成绩分成四段，A段：0分~29分，B段：30分~39分，C段：40分~49分，D段：50分，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答以下问题：

〔1〕请补全条形统计图；
〔2〕该年级共有学生500人，请根据该班成绩估计该年级成绩在D段的人数；
〔3〕如果A，B分数段中各有一名男生，该班教师从A，B分数段中分别任意选出一名同学了解考试中的一些情况，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好是两名女生的概率．
21.如图，抛物线 经过点A(－1，0)，点B(3，0)和点C(0，3)．

〔1〕求抛物线的解析式和顶点E的坐标；
〔2〕点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由．
22.我们知道求两个函数图象的交点坐标，可以联立两个函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求双曲线 与直线 的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组 ，解得 ， ，所以双曲线 与直线 的交点坐标是(4，2)和(2，4)．直线 和抛物线 ，请利用上述知识解决以下问题：
〔1〕当m=－1时，求直线与抛物线的交点坐标．
〔2〕当m为何值时，直线与抛物线只有一个交点？
23.如图，以 ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为 的中点．

〔1〕判断 ABC的形状，并说明理由；
〔2〕连结DE，求证：DE=CD；
〔3〕假设AB=4，∠BAC=45°，求阴影局部的面积．
24.阅读下面材料，并解决问题：

〔1〕如图1，等边三角形ABC内有一点P，假设点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数；
为了解决此题，我们可以将 ABP绕顶点A逆时针旋转到 ACP′处，此时 ACP′≌ ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=________；
〔2〕根本运用：
请你利用第〔1〕题的思想方法，解答下面问题：
如图2，在 ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°．求证：EF2=BE2+FC2；
〔3〕能力提升：在正方形ABCD中，点E为对角线AC〔不含点A〕上任意一点，AB=4．
①如图3，将 ADE绕点D逆时针旋转90°得到 DCF，连结EF．
a．把图形补充完整〔无需写画法〕；
b．求EF2的取值范围；
②如图4，求BE+AE+DE的最小值．

答案解析局部
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵直径所对的圆周角是直角，
故A，B，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，观察图形可得答案。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解： 指针落在“Ⅱ〞区域内的概率为.
故答案为：D.
【分析】观察扇形统计图可知 “Ⅱ〞 区域圆心角的度数为120°，因此可求出指针落在“Ⅱ〞区域内的概率。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得

解之：m=±2，m≠2
∴m=-2.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的定义：含自变量的系数为2且二次项系数不等于0，建立关于m的方程和m的不等式，然后求出m的值。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OA，OB，

∵∠AOB=2∠P=2×30°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=.
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，再证明△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的解析式为：
y=〔x-1-1〕2+2=〔x-2〕2+2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左减右加，可得平移后的函数解析式。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC=ED，∠ABC=∠DEA=∠EAB=108°
∴∠BAC=∠ACB=〔180°-108°〕÷2=36°，
∴∠EAC=108°-36°=72°
∴∠DEA+∠EAC=108°+72°=180°，
∴ED∥AB
∴四边形EAFD是平行四边形，
∴EA∥DF
∴∠DFC=∠EAC=72°.
故答案为：B.
【分析】利用正五边形的性质，可证得AB=BC=ED，∠ABC=∠DEA=∠EAB=108°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，从而可求出∠EAC的度数，再证明∠DEA+∠EAC=180°，就可推出ED∥AB，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EAFD是平行四边形；然后利用平行四边形的性质可得到EA∥DF，利用平行线的性质可求出∠DFC的度数。
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故①错误；
同弧等弧所对的圆周角相等，故②正确；
平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；
圆的内接平行四边形是矩形，故④正确；
正确结论有：②④.
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理可对①②作出判断；利用垂径定理可对③作出判断；利用圆内接四边形定理，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、设该型号5G 的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴ 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设该型号5G 的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出 的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB=∠AOC=90°，
∵∠AED=∠OEB=65°，
∴∠B=90°-∠OEB=90°-65°=25°，
∵弧CD=弧CD
∴∠COD=2∠B=2×25°=50°.
∴∠AOD=90°-∠COD=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直的定义可求出∠AOB=∠AOC=90°，再利用对顶角相等及三角形内角和定理可求出∠B的度数；利用圆周角定理求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=90°-∠COD，就可求出∠AOD的度数。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB是直径，∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴∠C=90°-∠A=90°-30°=60°  
∵OB=OC，
∴△OCB是等边三角形，A正确，故A不符合题意；  
∵△OCB是等边三角形，点F是OC的中点，
∴BF⊥OC，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，点E是AB的中点，
∴EF=AE；
∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，
∴AE＝EB＝OEtan∠AOE=tan60°＝，
∴EF=， 正确；故B不符合题意；
∵在Rt△ABF中，∠A=30°，
∴BF=AB=BE，∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，
∵OE=OF=OA
∴BO垂直平分EF，
∴PE=PF，正确，故C不符合题意；
不能证明DF=EF，错误，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ABC=90°，从而可求出∠C的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可对A作出判断；利用等边三角形的性质，可证得∠AFB=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证EF=AE；利用解直角三角形求出AE的长，从而可得到EF的长，可对B作出判断；再证明OF=OE，BE=BF，利用线段垂直平分线的判定，可知BO垂直平分EF，利用线段垂直平分线的定义，可对C作出判断；利用条件不能证明DF=EF，可对D作出判断。
二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.【答案】 (0，5)
【解析】【解答】解：y=-x2+5的顶点坐标为〔0，5〕.
故答案为：〔0，5〕.
【分析】y=a〔x-h〕2+k的顶点坐标为〔h，k〕，据此可求解。
12.【答案】 0.46
【解析】【解答】解：由题意得他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率为
.
故答案为：0.46.
【分析】根据表中数据用大于等于40分钟的人数和除以样本的容量，可得到他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率。
13.【答案】 110°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9
设∠A=7x，那么∠C=11x，
∴7x+11x=180°
解之：x=10°
∴∠C=11×10°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补可证得∠A+∠C=180°，利用条件设∠A=7x，那么∠C=11x，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠C的度数。

14.【答案】 π－2
【解析】【解答】解：连接AB，

由图可知
S阴影局部=S扇形AOB-S△AOB=.
故答案为：.
【分析】连接AB，观察图形可知S阴影局部=S扇形AOB-S△AOB ， 再利用扇形的面积公式及三角形的面积公式可求出阴影局部的面积。
15.【答案】 ①③④
【解析】【解答】解：由图像可知：
a＜0，b＜0
∴ab＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1=，
∴b=-2a，
∴
∵两函数与y轴的交点为〔0，1〕
∴c=1
∵当x=-1时y＜0
∴a-b+c＜0
∴
∴b＞.故②错误；
当x=1时，y=a+b+1=a-2a+1=-a+1
∴抛物线的顶点坐标为〔1，-a+1〕;
∵直线y=kx+1经过抛物线的顶点，
∴k+1=-a+1
解之：a=-k，故③正确；
由图像可知，当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1
∴ax2+bx＞kx
∵x≠0
∴ax+b＞k，故④正确；
∴正确结论的序号为：①③④.
故答案为：①③④.
【分析】利用函数图像可知a＜0，b＜0，由此可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=-2a，由此可得到a与b的数量关系，再根据两函数图像交点为〔0，1〕，可得到c的值，再根据当x=-1时y＜0，就可求出b的取值范围，可对②作出判断；由题意可知抛物线的顶点坐标，再由一次函数图像经过抛物线的顶点坐标，就可求出a与k之间的数量关系，可对③作出判断；观察函数图像，可知当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，由x≠0，可得到ax+b＞k，可对④作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
16.【答案】 〔1〕25
〔2〕5≤AD≤15
【解析】【解答】解：∵点A〔6，0〕，
∴OA=6
∵点C，F分别是直线x=－4与x轴上的动点，点F〔-4，0〕
∴CF⊥x轴，
∴AF=|-4-6|=10 
∵CF=10，点D是CF的中点，
∴DF=CF=5
∴△ADF的面积为.
故答案为：25.
〔2〕设直线x=-4交x轴于点M，连接DM，

∴AM=6-〔-4〕=10
在Rt△FMC中，点D是FC的中点，
∴MD=CF=5，
点D的运动轨迹是以M为圆心，5为半径的圆，
∴AD的最小值为5；
AD的最大值为5+10=15.
∴AD的取值范围是5≤AD≤15.
故答案为：5≤AD≤15.
【分析】〔1〕由点A的坐标可得OA的长，再利用点C，F分别是直线x=－4与x轴上的动点，点F〔-4，0〕，可得到CF⊥x轴于点F，从而可求出AF，DF的长，然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积。
〔2〕设直线x=-4交x轴于点M，连接DM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出MD的长，根据题意可知点D的运动轨迹是以M为圆心，5为半径的圆，由此可得到点A到圆M的最短距离的最大距离，即可求出AD的取值范围。

三、解答题〔此题有8小题，共66分〕
17.【答案】 证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC．
∵ ，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE．
【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得∠BAC=∠DAC，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠DAC=∠ACE，由此可推出∠BAC=∠ACE，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论。
18.【答案】 解：不需要采取紧急措施．
理由如下：如图，连结OA，OA1 ．

由题意可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OP⊥AB，OP⊥A1B1 ．
设OA=OA1=OP=Rm．
由垂径定理可得：AM=MB=30m．在Rt AMO中，AO2=AM2+MO2 ， 即R2=302+(R－18)2 ， 解得R=34．
∵PN=4m，OP=R=34m，
∴ON=30m．
在Rt ONA1中，A1N2=A1O2－ON2=342－302 ， 得A1N=16，
∴由垂径定理可得：A1B1=2A1N=32m>30m，
∴不需要采取紧急措施
【解析】【分析】连结OA，OA1 ， 根据题意可得到AB，PM，PN的长，利用垂径定理可求出AM的长，设OA=OA1=OP=R，利用勾股定理建立关于R的方程，解方程求出R的值，即可求出ON的长；再利用勾股定理求出A1N的长；然后利用垂径定理求出A1B1的长，即可作出判断。
19.【答案】 〔1〕(2，0)
〔2〕解：如图．

设⊙D的半径为r．
r=CD= = ．
观察图形可得：∠ADC=90°，
∴ 的长=
【解析】【解答】解：〔1〕如图，连结BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交点即为圆心D的位置(2，0)．


【分析】〔1〕作出AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是点D的位置，然后写出点D的坐标。
〔2〕利用勾股定理求出CD的长，再求出∠ADC的度数，然后利用弧长公式可求出弧AC的长。
20.【答案】 〔1〕解：∵D段有30人，占50%，
∴总人数为：30÷50%=60，
∴C段有：60－2－3－30=25〔人〕．
补全的条形统计图如下列图：


〔2〕解：500×50%=250〔人〕
． ∴估计该年级成绩在D段的人数为250

〔3〕解：根据题意，画树状图如下列图：

∵由树状图可知，共6种等可能的结果，所选的两名学生刚好是两名女生有2种，
∴P〔所选的两名学生刚好是两名女生〕=
【解析】【分析】〔1〕观察两统计图利用D段的人数除以D段人数所占的百分比，即可求出总人数；然后求出C段的人数，据此可以补全条形统计图。
〔2〕利用该年级的人数×D段人数所占的百分比，列式计算可求解。
〔3〕根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有的可能的结果数及所选的两名学生刚好是两名女生的情况数，然后利用概率公式可求解。
21.【答案】 〔1〕解：由题意得： ，
解得 ，
∴这个抛物线的解析式为 ．
∵
∴顶点E的坐标是(1，4)

〔2〕解：点C在以BE为直径的圆上．
理由如下：∵C(0，3)，B(3，0)，E(1，4)，
∴BC2=32+32=18，CE2=12+12=2，BE2=(3－1) 2+42=20，
∴BC2+CE2=BE2 ，
∴∠BCE=90°，
∴点C在以BE为直径的圆上．
【解析】【分析】〔1〕将点A，B，C的坐标代入函数解析式，建立关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，从而可求出此函数解析式。
〔2〕利用点C，B，E的坐标分别求出BC2 ， CE2 ， BE2的值，就可推出BC2+CE2=BE2 ， 利用勾股定理的逆定理可证得∠BCE=90°，然后利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得结论。
22.【答案】 〔1〕解：当m=－1时，直线的解析式为y=－x－1，
联立直线与抛物线的解析式得到方程组 ，
解得 ， ，
∴直线与抛物线的交点坐标是(－1，0)，(2，－3)

〔2〕解：根据题意令 ，即 ，
当直线与抛物线只有一个交点时，b2－4ac=(－1)2－4×1×(－3－m)=0，
解得 ，
∴当 时，直线与抛物线只有一个交点
【解析】【分析】〔1〕将m=-1代入一次函数解析式，再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出x，y的值，就看得到直线与抛物线的交点坐标。
〔2〕将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，利用直线与抛物线只有一个交点，也就是关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立关于m的方程，解方程求出m的值。
23.【答案】 〔1〕解： ABC是等腰三角形．
理由如下：如图，连结AD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠CDA=90°．
∴AD⊥BC．
∵点D为的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD=AD，
∴ ABD≌ ACD(ASA)，
∴AB=AC，
∴ ABC是等腰三角形

〔2〕证明：如图．

由〔1〕知：AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．
∵点D为 的中点，
∴BD=DE，
∴DE=CD

〔3〕解：如图，连结OD，作BF⊥OD于点F．

∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OB=OD=2．∵∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠CAD=22.5°，
∴∠BOD=45°．
∵BF⊥OD，
∴ OBF是等腰直角三角形，
∴OB2=2BF2 ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】
【分析】〔1〕连接AD，利用直径所对的圆周角是直角，可证得AD⊥BC，∠BDA=∠CDA，再利用等弧所对圆周角相等，可证得∠BAD=∠CAD；然后根据ASA证明△ABD≌△ACD，利用全等三角形的性质，可证得结论。
〔2〕利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，再利用弧的中点，可证得BD=DE，由此可推出DE=CD。
〔3〕连结OD，作BF⊥OD于点F，利用可求出∠BOD=45°，由此可证得△BOF是等腰直角三角形，利用勾股定理可得到OB2=2BF2 ， 就可求出BF的长，再利用三角形的面积公式可求出△BOD的面积，然后利用扇形的面积公式，可求出阴影局部的面积。
24.【答案】 〔1〕150°
〔2〕证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ACE′．

由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC－∠EAF=90°－45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF．
在 EAF和 E′AF中， ，
∴ EAF≌ E′AF(SAS)，
∴E′F=EF．
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2 ， 即EF2=BE2+FC2 ．

〔3〕解：①a．如图， DCF即为所求．

b．方法一：∵ ， FDE是等腰直角三角形，
∴EF2=2DE2 ，
∴16≤EF2≤32．
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠B=90°，∠DAE=∠ACD=45°，
∴ ．
∵ ADE绕点D逆时针旋转90°得到 DCF，
∴∠DCF=∠DAE=45°，AE=CF，
∴∠ECF=∠ACD+∠DCF=90°．
设AE=CF=x，EF2=y，那么EC= ，
∴ ，
即 ．
∵2>0，
∴当 时，y有最小值，最小值为16，当x=42时，y有最大值，最大值为32，
∴16≤EF2≤32．
②如图，将 ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连结EG，DF．作FH⊥AD，交DA的延长线于点H．

由旋转的性质可知：AF=AB=4， AEG是等边三角形，
∴AE=EG．
∵DF≤FG+EG+DE，BE=FG，
∴AE+BE+DE的最小值为线段DF的长．
在Rt AFH中，∠FAH=30°，
∴ ， ，
在Rt DFH中， ，
∴BE+AE+ED的最小值为 ．
【解析】【解答】〔1〕解：150°
【解法提示】∵ ACP′≌ ABP，
∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB．
由题意知旋转角∠PAP′=60°，
∴ APP′为等边三角形，
∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°．
易证 PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°．
【分析】〔1〕利用旋转的性质可证得△ACP′≌△ABP，利用全等三角形的性质可知AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB及求出旋转角的度数，由此可推出△APP′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到PP′=AP=3，∠AP′P=60°，由此可求∠PP′C=90°，然后取出∠APB的度数。
〔2〕 把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 利用旋转的性质可得到AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°；再证明∠EAF=∠E′AF，利用SAS证明△EAF≌△E′AF，可推出E′F=EF，易证∠E′CF=90°，利用勾股定理可推出结论。
〔3〕①利用等腰直角三角形的性质及勾股定理可得到EF2=2DE2 ， 就可求出EF2的取值范围；或利用勾股定理求出AC的长，再利用旋转的性质去证明∠ECF=90°，设AE=CF=x，EF2=y，可表示出EC的长，就可得到y与x的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值，由此可得到EF2的取值范围； ② 将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连结EG，DF．作FH⊥AD，交DA的延长线于点H。由旋转的性质可知：AF=AB=4， △AEG是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AE=EG．DF≤FG+EG+DE，BE=FG，由此可得到AE+BE+DE的最小值为线段DF的长，利用勾股定理求出FH，AH的长，由此可求出DF的长，然后可求出BE+AE+DE的最小值。