初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系巩固练习

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系巩固练习，文件包含专题07公式法因式分解法解一元二次方程判别式根与系数的关系压轴题七种模型全攻略解析版docx、专题07公式法因式分解法解一元二次方程判别式根与系数的关系压轴题七种模型全攻略原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18279" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18279 \h 1
\l "_Tc17444" 【考点一 一元二次方程的解法——公式法】 PAGEREF _Tc17444 \h 1
\l "_Tc19393" 【考点二 一元二次方程的解法——因式分解法】 PAGEREF _Tc19393 \h 3
\l "_Tc17630" 【考点三 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 PAGEREF _Tc17630 \h 6
\l "_Tc19799" 【考点四 根据一元二次方程根的情况求参数】 PAGEREF _Tc19799 \h 8
\l "_Tc11628" 【考点五 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 PAGEREF _Tc11628 \h 9
\l "_Tc25056" 【考点六 一元二次方程根与系数的关系】 PAGEREF _Tc25056 \h 12
\l "_Tc17112" 【考点七 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 PAGEREF _Tc17112 \h 14
\l "_Tc28584" 【过关检测】 PAGEREF _Tc28584 \h 16
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的解法——公式法】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
原方程的解为：，；
（2）解：，，，
，
，
原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
2.（2023春·八年级单元测试）解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∴，，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
即，．
（2）∵，
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
【考点二 一元二次方程的解法——因式分解法】
例题：（2022秋·山西大同·九年级校考期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【变式训练】
1．（2023·上海·八年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用因式分解的方法解方程即可；
（2）利用因式分解的方法解方程即可；
（3）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可；
（4）利用因式分解的方法解方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴．
则或，
解得，．
（2）∵，
∴．
则，
解得．
（3）∵，
∴，
∴，
∴或．
解得，．
（4）∵，
∴．
∴或．
解得，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
【考点三 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
例题：（2023春·山东济南·八年级统考期末）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】D
【分析】先计算出，然后根据的值即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
，
一元二次方程没有实数根，
故选D．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况．
【变式训练】
1．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）下列关于x的方程中，一定没有实数根的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】分别根据一元二次方程根的判别式逐项计算进行判断即可求解．
【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、原方程化为一般形式为，，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、，方程没有实数根，符合题意；
D、，方程有两个不相等的实数根，不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程实数根的情况，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．注意计算一元二次方程根的判别式要注意先将方程化为一般形式才能进行计算．
2．（2023·全国·九年级假期作业）不解方程，判别方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．无实数根
【答案】B
【分析】先把方程化为一般式得到，再计算，即可判断方程根的情况．
【详解】解：方程整理得，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练应用根的判别式是解题的关键．
3．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于的方程，，则下列说法正确的是( )
A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
A．存在k的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误，不符合题意；
B．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，
∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确，符合题意；
D．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【考点四 根据一元二次方程根的情况求参数】
例题：（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】分当时和当两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当，即时，此时关于的方程为，
解得，方程有实数根；
当，即时，此时关于的方程若有实数根，
则有，
解得．
综上所述，当时，关于的方程有实数根．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
【变式训练】
1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
【答案】3
【分析】一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．
2.（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】且，
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【考点五 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】
例题：（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解：，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
，
方程有一根小于0，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
【变式训练】
1.（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为；
【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；
（2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：令，则，解得：或3
当时，原方程可化为：
∴
∴；
当时，原方程可化为：
∴
∴；
综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
2.（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
【答案】(1)有两个实数根，见解析
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；
（2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．
【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根
理由：，
∵，
∴，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，
∴，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得，
∴这个一元二次方程为，解得．
∴这个矩形对角线的长是5．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【考点六 一元二次方程根与系数的关系】
例题：（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到，的值，即可求得．
【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根
∴，
则原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．
【答案】0
【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【详解】解：α，β是方程的两个实数根，
可得，
∴．
∴的值为0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，．
2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．
【答案】7
【分析】根据题意得出a、b是关于x的方程的两个实数根，故，，把所求式子变形再整体代入可算得答案．
【详解】解：∵a，b满足，，且，
∴a、b是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
3.（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵是方程的根
∴
∴
∴
∵，是方程的两根
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【考点七 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】
例题：（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
解得；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用根的判别式判断即可；
（2）利用根与系数的关系式得到，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：，
由得：
解得：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的关系式是解题的关键．
2.（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若为正整数，求的值；
(2)若满足，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
为正整数，
；
（2）解：，，，
，
，
解得：，，
，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于的一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．0或2D．0或
【答案】C
【分析】利用提取公因式法将原方程化为，得或，求解即可得出答案．
【详解】解：，
因式分解得，
得，，
解得，，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法将二次方程化为一次方程是解题关键．
2．（2023·河南驻马店·统考三模）方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根D．无实数根
【答案】B
【分析】根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3．（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）一元二次方程的一根是，则另外一根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设另外一根是，根据根与系数的关系得到，解得的值即可．
【详解】解：设另外一根是，
则由根与系数关系得到，
，
另外一根是，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
4．（2023·浙江温州·校考三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由题意知，，解得，然后判断求解即可．
【详解】解：由题意知，，解得，
∴实数m的值可以是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于明确：当一元二次方程有两个不相等的实数根，．
5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（ ）
A．或0B．2或0C．2D．0
【答案】C
【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m的方程，解方程后代入检验即可．
【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴，
∵，
∴，
∴，
检验：均为该方程的解；
∵，
∴不成立，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．
二、填空题
6．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）用求根公式解方程 ，求得 ．
【答案】
【分析】化为一般式，求出a，b，c，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，化为一般式，求出a，b，c的值是解答本题的关键．
7．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若一元二次方程的两个根是、，则的值是
【答案】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
8．（2023·上海·八年级假期作业）已知一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程代入进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0，
∴把代入方程得：，
解得：或，
∵，即，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的根的判别式以及定义求解，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
又，
，
m的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及定义，解题关键是掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．
10．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出, ，代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
则，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
则，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：，
即，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：方程是关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程无实数根，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据未知数的次数等于2，系数不等于零列式求解即可；
（2）根据根的判别式列不等式求解即可．
【详解】（1）∵方程是关于x的一元二次方程，
∴且，
∴且，
∴．
（2）当时，一元二次方程为，
∵此方程无实数根，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
16．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若两实数根满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程求出判别式即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
∴，
∴．
（2）解：由，
∵，，
∴原式即为：，整理得，，
∴解得（舍）或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
17．（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为，，且满足，求的值．
【答案】(1)且；
(2)．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，用表示出和的值，由条件可得到关于的方程，则可求得的值．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即且，
解得且；
（2）解：由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，即，
解得或，
由（1）可知且，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
18．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长．
①求k的值；
②求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）①直接将代入方程中求解即可；②求方程的另一个根，根据等腰三角形的定义，结合三角形三边关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解①：把代入方程，得：
，
解得；
②方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，又，
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，
所以的周长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义，理解方程解的定义，熟练掌握根的判别式是解答的关键．