高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列第2课时学案

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在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
问题：在等比数列中有无类似的性质？
[提示] 略
知识点1 等比中项
G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
[提示] 不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．
拓展：(1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项．由此可得等比数列的另一种判定方法——等比中项法，即判断eq \f(an＋1,an)＝eq \f(an,an－1)(n≥2)是否成立．
(2)“a，G，b是等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0，0，1不是等比数列．因此“a，G，b是等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件．
(3)等差中项与等比中项的区别：
①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数．
1．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
C [依题意知2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
解得a＝eq \f(3,2)，b＝±4，∴ab＝±6．]
知识点2 等比数列的性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq．
(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝aeq \\al(2,s)．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
拓展：(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
(2)两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也为等比数列．
2．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_____．
25 [∵{an}是等比数列，
∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，
∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25．]
类型1 等比中项的应用
【例1】 (1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9
(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________．
(1)B (2)eq \f(13,16) [(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9．
(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴aeq \\al(2,3)＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq \f(13d,16d)＝eq \f(13,16)．]
由等比中项的定义可知：eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab).这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝abab≠0.
[跟进训练]
1．(对接教材P34练习AT3)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
C [∵{an}是等比数列，
∴a2·a6＝aeq \\al(2,4)＝16．]
类型2 等比数列性质的应用
【例2】 (1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________．
(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．
(1)6 (2)64 [(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴aeq \\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6．
(2)设a1＝2，a5＝8，
∴a3＝eq \r(a1a5)＝4，
∴a2·a3·a4＝aeq \\al(2,3)·a3＝aeq \\al(3,3)＝43＝64．]
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
[跟进训练]
2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10．
[解] 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8.))可解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝4，,a7＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝－2，,a7＝4.))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝4，,a7＝－2))时，q3＝－eq \f(1,2)，故a1＋a10＝eq \f(a4,q3)＋a7q3＝－7；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝－2，,a7＝4))时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7．
即a1＋a10的值为－7．
类型3 等比数列的设法与求解
1．类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更方便？
[提示] 可设为eq \f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．
2．如果四个数成等比数列，如何设更方便运算？
[提示] 可设为eq \f(a,q)，a，aq，aq2或eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3(q≠0)．
【例3】 (对接教材P33例7)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,d＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9.,d＝－6.))
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1．
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
法二：设四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq(a≠0)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,q＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,q＝\f(1,3).))
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，
所求四个数为15，9，3，1．
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为eq \f(a,q)，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
[跟进训练]
3．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
[解] 设三个数依次为eq \f(a,q)，a，aq，
∵eq \f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8．
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝eq \f(1,2)，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4．
1．等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．±4 B．4 C．±eq \f(1,4) D．eq \f(1,4)
A [a4＝a1q3＝eq \f(1,8)×23＝1，
a8＝a1q7＝eq \f(1,8)×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±eq \r(16)＝±4．]
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [因为aeq \\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．]
3．在等比数列{an}中，a1＋a9＝a(a≠0)，a11＋a19＝b，则a91＋a99等于( )
A．eq \f(b9,a8) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(9) C．eq \f(b10,a9) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(10)
A [记a1＋a9＝b1，a11＋a19＝b2，则a91＋a99＝b10，易知数列{bn}为等比数列，且b1＝a，公比q＝eq \f(b2,b1)＝eq \f(b,a)，所以b10＝b1q9＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(9)＝eq \f(b9,a8)．]
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________．
7 [∵a6a10＝aeq \\al(2,8)，a3a5＝aeq \\al(2,4)，∴aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,8)＝41．
又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,8)＋2a4a8＝41＋8＝49．
∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7．]
5．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝__________．
64 [在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，
∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20．
联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝4，,a7＝16，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝16，,a7＝4.))
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3．
∴取a3＝4，a7＝16，
∴16＝4q4，∴q4＝4．
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等比数列的常用性质有哪些？
[提示] (1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；
(2)如果m＋n＝2k，am·an＝aeq \\al(2,k)；
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq \f(1,q1)，q1q2，eq \f(q2,q1)，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…．
2．如何根据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项？
[提示] 当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为eq \f(a,q)，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解等比中项的概念．(易错点)
2．掌握等比数列的性质及其应用．(重点)
3．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
1．通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养．
2．通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养．
定义
如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项
关系式
G2＝xy
结论
在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项