人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第2课时学案

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《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为多少？
[提示] eq \f(17,6)升．
知识点1 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2)．
在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．
A为x与y的等差中项是A＝eq \f(x＋y,2)的充要条件．
1．数列{an}满足an＋1＝eq \f(an＋an＋2,2)(n∈N＋)，则数列{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 这个数列一定是等差数列，理由如下：
由an＋1＝eq \f(1,2)(an＋an＋2)(n∈N＋)，可知an＋1－an＝an＋2－an＋1对任意的正整数n都成立，所以a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝an＋1－an＝an＋2－an＋1＝…，这就是说，数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，所以这个数列是等差数列．
由此我们可得到一个重要的结论：{an}为等差数列⇔an＋1＝eq \f(an＋an＋2,2)，n∈N＋．这是判断一个数列为等差数列的另一个方法．
1.17＋eq \r(3)，13－eq \r(3)的等差中项为________．
15 [设A为其等差中项，则A＝eq \f(17＋\r(3)＋13－\r(3),2)＝eq \f(30,2)＝15．]
知识点2 等差数列的性质
{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq．
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
2．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示] 令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(2)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
2．(1)在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝( )
A．－1 B．9 C．1 D．6
B [由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B．]
(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
B [在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16．]
类型1 等差中项及其应用
【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
[解] (1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3．
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1．
又c是3与7的等差中项，
∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5．
∴该数列为－1，1，3，5，7．
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1．
所以p＝q＝1．
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq \f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
[跟进训练]
1．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(2) C．eq \f(1,\r(3)) D．eq \f(1,\r(2))
A [因为a＋b＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq \f(1,\r(3)－\r(2))
＝eq \f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),\r(3)＋\r(2)\r(3)－\r(2))＝eq \f(2\r(3),\r(3)2－\r(2)2)＝2eq \r(3)，
所以a，b的等差中项为eq \r(3)．]
类型2 等差数列性质的应用
【例2】 在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．
[思路点拨] 本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48．
∴4a13＝48．
∴a13＝12．
(2)化成a1和d的方程如下：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋d·a1＋4d＝52，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝16，,d＝－3，))
∴d＝3或－3．
法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13．
得4a13＝48，∴a13＝12．
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得
2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17．
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2·a5＝52，,a2＋a5＝17，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a5＝13，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝13，,a5＝4.))
∴d＝eq \f(a5－a2,5－2)＝eq \f(13－4,3)＝3或d＝eq \f(a5－a2,5－2)＝eq \f(4－13,3)＝－3．
1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．
2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．
3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝eq \f(an－am,n－m)，应注意把握，并学会应用．
[跟进训练]
2．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．
35 [法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35．
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35．]
类型3 等差数列的设法与求解
1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
(1)设这三个数分别为a，b，c．
(2)设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d．
(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为b－d，b，b＋d．
那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
[提示] 方法(3)可能更便捷一些．
2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？
[提示] 可以设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d．
【例3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解] 法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－a＝c－b＝d－c，,a＋b＋c＋d＝26，,bc＝40，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝5，,c＝8，,d＝11，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝11，,b＝8，,c＝5，,d＝2，))
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，,a1＋da1＋2d＝40，))
化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝26，,a\\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝11，,d＝－3，))
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))
化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝26，,a2－d2＝40，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).))
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．
[跟进训练]
3．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解] 设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－da＝6a＋d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝－1.))
∴这三个数为4，3，2．
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝( )
A．36 B．37 C．38 D．39
C [a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38．]
2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－anB．bn＝aeq \\al(2,n)
C．bn＝eq \r(an)D．bn＝eq \f(1,an)
A [∵数列{an}是等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如an＝n，则bn＝aeq \\al(2,n)＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：eq \r(an)及eq \f(1,an)不一定有意义，故选A．]
3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝________．
39 [∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39．]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
15 [在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等差数列的常用性质有哪些？
[提示] (1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(an－am,n－m)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为an＝am＋(n－m)d．
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
2．求解等差数列问题的基本思路是什么？
[提示] 等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解等差中项的概念．(重点)
2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)
3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1．借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养．
2．通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养．