人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数示范课课件ppt

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　　一般地,函数①    y=lgax(a>0,且a≠1)    叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是②　(0,+∞)    .
1 | 对数函数的概念
2 |对数函数的图象与性质
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数⑤    y=lgax(a>0,且a≠1)    互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
1.函数y=lg2(2x)是对数函数. (    ✕　)2.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则函数y=lgax在(0,+∞)上也是增函数.  (　√　)提示:因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,所以a>1,所以y=lgax在(0,+∞)上 也是增函数.3.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=lgax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称. (　√　)4.函数y=lg3(x+1)的定义域是(0,+∞). (    ✕　)提示:由对数式lg3(x+1)的真数x+1>0可得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞).
5.函数y=lgax+1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,1). (    ✕　)提示:因为对数函数y=lgax的图象过定点(1,0),所以函数y=lgax+1的图象过定点(1,1).
1 | 对数函数的图象及其应用
1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+lga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定 点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左 向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或 向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
　　已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=lga(-x)的图象只能是 (    B　)      
思路点拨可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合 单调性来判断.
解析    解法一:若01,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=lga(-x)在其 定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=lga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A, C;y=ax与y=lga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.
　　设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a思路点拨根据题意作出函数y=|lg x|的图象和直线y=c,观察图象即可求解.
解析    由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函 数y=|lg x|的图象与直线y=c,如图所示, 结合图象可知,|lg a|=|lg b|=c,又a2 | 与对数函数有关的定义域、值域问题
1.对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=lga f(x)(a>0,且a≠1)中应首 先保证f(x)>0;(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.2.求对数型函数值域的常用方法(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义 域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(lgax)]2+nf(lgax)+c(m≠ 0,a>0,且a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函 数的值域.(4)换元法:求形如y=lga f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用 函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=lgau的单调性、图象求出y的取值范围.
(1)求函数f(x)=l (x2+2x+3)的值域;(2)求函数y=(l x)2- l x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
思路点拨确定函数的复合形式,由定义域求中间变量范围,由中间变量范围求函数值域.
解析    (1)f(x)=l (x2+2x+3)=l [(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以l [(x+1)2+2]≤l 2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].(2)因为2≤x≤4,所以l 2≥l x≥l 4,即-1≥l x≥-2.设t=l x,则-2≤t≤-1,所以y=t2- t+5,其图象的对称轴为直线t= ,因此y=t2- t+5在[-2,-1]上单调递减,所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;当t=-1,即x=2时,ymin= .
易错警示解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因不求定义域导致解题错误.
3 | 与对数函数有关的复合函数的单调性
　　 求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1,则y=lga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (    D　)A.(-∞,-2)　　　    B.(-∞,1)C.(1,+∞)　     D.(4,+∞)
思路点拨根据“同增异减”求解单调区间,注意对数的真数大于零.
解析    由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令t=x2-2x-8,则y=ln t(t>0),且y=ln t是增函数,又∵t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.
    已知函数f(x)=lga(3-ax)(a>0).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解析    (1)设t(x)=3-ax,∵a>0,∴t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< .又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围是(0,1)∪ .
(2)假设存在这样的实数a. 由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=lgat在区间[1,2]上为增函数,∴a>1.又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=lga(3-a),
∴ 即 无解.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
易错警示 解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同 增异减”原则判断函数的单调性.
4 | 如何比较对数值的大小
　比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同,找中间量.(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨 论.
     设a=lg2 ,b=lg3 ,c=l  ,则a,b,c的大小关系是 (    B　)A.c>b>a　    B.c>a>bC.a>c>b　    D.a>b>c
思路点拨不同底的对数比较大小时,可以找中间值0,1等比较.
解析    a=lg23-1,b=lg34-1,c=l  =l 4-1=lg34,∵lg23=l 33=lg827,lg34=l 42=lg916,由lg827>lg927>lg916,得lg23>lg34,∴lg23-1>lg34-1,即a>b.∵lg23lg33=1,∴lg34>lg23-1,即c>a,∴c>a>b,故选B.
对数不等式的类型及解题方法(1)形如lga f(x)>lgab的不等式,借助函数y=lgax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=lgaab),借 助函数y=lgax的单调性求解;(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
5 | 如何解对数不等式
　　解下列关于x的不等式:(1)lga(2x-5)>lga(x-1);(2)lgx >1.
思路点拨根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解.