初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理测试题

2.4等腰三角形的判定定理同步练习浙教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在等腰中，BD为的平分线，，，，则

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在中，，D，E是BC上的两点，且，则图中共有等腰三角形

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

3. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点P的个数是

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

4. 如图，中，，的平分线相交于点F，过F作，分别交AB、AC于D、E，若，则的周长等于  

A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

5. 如图，在中，CM平分交AB于点M，过点M作交AC于点N，且MN平分，若，则BC的长为

A. 4 B. 6 C.  D. 8

6. 如图，在中，，BD和CD分别是和的平分线，EF过D点，且，图中等腰三角形共有

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

7. 如图，中，，AD是的角平分线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则下列结论不一定成立的是

A.
B.
C.
D.
 

8. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为

A. a千米
B. 千米
C. 2a千米
D. 无法确定

9. 若的三边a，b，c满足那么的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形

10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于点E，交AC于点F，过点O作于点D，下列四个结论：点O到各边的距离相等设，，则其中正确的结论是   

A.  B.  C.  D.

11. 如图，线段AB和直线l，以AB为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线l上，这样的等腰三角形能画个．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

12. 如图，中，，的平分线相交于点F，过F作，分别交AB、AC于D、E，若，则的周长等于    ．

A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若，则下列结论正确
    是______填序号．
    ；
    是的平分线；
    是等腰三角形；
    的周长．
     

14. 已知中，，垂足为H，若，，则______．
15. 在中，，当______，为等腰三角形．
16. 在中，，当______时，为等腰三角形．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，已知等腰中，，，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，．
    求的度数；
    求证：点P在OC的垂直平分线上．
    
    
    
    
    
    
     
18. 阅读应用：等腰三角形在我们的日常生活中随处可见，它的性质与判断更是我们省每年中考中的必考点，如图1，在中，当时，
    我们把这种判断等腰三角形的方法叫做等角对等边．
    应用这一结论，解决下面问题：
    如图2，在和中，AC与BD相交于点E，，，求证：三角形ABE是等腰三角形．

19. 如图，在中，，，点D在线段BC上运动点D不与B、C重合，连结AD，作，DE交线段AC于点E．
    若，求证：≌；
    在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

20. 如图，点E、F在BC上，，，，AF与DE交于点G，求证：．
    
     

21. 如图，，，，求证：．
    
     

22. 如图，点P是中一点，于点A，于点B，连接AB，求证：OP平分．
    
     

23. 如图，点E，F在BC上，，，，AF与DE交于点O．
    
    求证：；
    试判断的形状，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，OA平分，求证：是等腰三角形．
    
    
    
     

25. 如图，在中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点给出下列四个条件：
    ；；；
    上述四个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形？写出所有的情形．
    选择中的一种情形，写出证明过程．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：在等腰中，BD为的平分线，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出解答．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：，，
是等腰三角形，是等腰三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
同理可求，
是等腰三角形，
图中共有等腰三角形4个，
故选：B．
由等角对等边得出是等腰三角形，是等腰三角形；由三角形的外角性质可求，的度数，由等腰三角形的判定可求解．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，求出各角的度数相等，然后得到相等的角是解题的关键．
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点P，然后相加即可得解．
【解答】
解：如图，分情况讨论：

为等腰的底边时，符合条件的P点有4个；
为等腰其中的一条腰时，符合条件的P点有4个，
共有8个．
故选D．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长，从而得出答案．
【解答】
解：平分，
，
  BC，
，
，
，
同理，
的周长，
故选B．  

5.【答案】B
 

【解析】解：在中，CM平分交AB于点M，过点M作交AC于点N，且MN平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
根据题意，可以求得的度数，然后根据含角的直角三角形的性质可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
本题考查含角的直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：，
为等腰三角形；
，BD和CD分别是和的平分线，
，，
，
为等腰三角形；
同理可知为等腰三角形，
，
，又BD和CD分别是和的平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
≌，
，
，故为等腰三角形．
故选：D．
根据等腰三角形的判定定理得到为等腰三角形；根据平行线和角平分线的定义得到，求得为等腰三角形；同理可知为等腰三角形，推出为等腰三角形，根据全等三角形的性质得到，推出为等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键，找等腰三角形时要由易到难，不重不漏．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：，AD是的角平分线，
，故不合题意，
是AC的垂直平分线，
，
，故不合题意，
是的角平分线，
，
又，，
≌
，
，故不合题意；
，且不一定为，
不一定等于，
故符合题意，
故选：D．
由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可证，由“SAS”可证≌，可得，由外角的性质可得不一定等于，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：，，
垂直平分CD，
千米，
故选：A．
先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是掌握多项式乘积为0的条件，解题时，由已知条件可得：或或，即可得出的形状注意：、和不一定同时成立．
【解答】
解：，
或或，
、和不一定同时成立，
只能判断是等腰三角形．
故选A．  

10.【答案】A
 

【解析】略
 

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形有2条边相等，注意可选不同的顶点为等腰三角形的两条腰的交点．
根据当AB为等腰三角形的腰时有三个；当AB为等腰三角形的底边时，有一个，那么可作出等腰三角形共4个，即可得出答案．
【解答】
解：如图以A为圆心，AB为半径画弧，即可得出、两点，

此时：，，
同理当AB为底边时，作AB的垂直平分线，，
以B为圆心，AB为半径画弧，即可得出点，
，
所以题中共有4个点使其为等腰三角形．
故选：B．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长，从而得出答案．
【解答】
解：平分，
，
  BC，
，
，
，
同理，
的周长，
故选B.  

13.【答案】
 

【解析】解：中，，，
，
故正确；
是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
是的平分线；
故正确；
，，
，
，
，
是等腰三角形；
故正确；
，
的周长，
故正确；
故答案为：．
由中，，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得是等腰三角形，继而可求得与的度数，证得BD是的平分线，然后由，，证得，易证得是等腰三角形，个等量代换即可证得的周长．
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：当为锐角时，过点A作，交BC于点D，如图1所示．
，
，．
，，
，
，
．
当为钝角时，如图2所示．
，
，
．
故答案为：或．
当为锐角时，过点A作，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出、，结合、可得出，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出的度数，再根据三角形内角为即可求出的度数；当为钝角时，由可得出，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出的度数．综上即可得出结论．
本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分为锐角及为钝角两种情况考虑是解题的关键．
 

15.【答案】，，
 

【解析】解：当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故答案为：，，．
分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题
本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
 

16.【答案】或或
 

【解析】解：当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故答案为或或．
分三种情形分别讨论即可解决问题；
本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：如图1，连接OB，
，，
，，
，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
点P在OC的垂直平分线上．
 

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；
证明且，即可证得是等边三角形，进而解答即可．
 

18.【答案】证明：在和中，，
≌，
，
，
三角形ABE是等腰三角形．
 

【解析】由SAS证明≌，得出对应角相等，再由等角对等边即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
，
≌

解：可以．有以下三种可能：
由得：≌，得
则有
；
由得
点D在线段BC上运动点D不与B、C重合
；
当时，
．
 

【解析】利用，，求出，再利用，即可得出≌．
分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当的度数为或时，的形状是等腰三角形；
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．
 

20.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌，
，
．
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
求出，根据SAS推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论．
 

21.【答案】证明：，
是等腰三角形，
，
在与中： 

≌，
全等三角形对应角相等．
 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由可得是等腰三角形即，进而证明≌，可证得结论．
 

22.【答案】证明：，
，
于点A，于点B，
平分．
 

【解析】【试题解析】

先根据等腰三角形的判定得到，然后根据角平分线的判定定理即可得出．
本题考查了角平分线的判定：在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

23.【答案】证明：，
，
即．
在和中，
，
≌，
；
解：为等腰三角形
理由如下：≌，
，
，
为等腰三角形．
 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定；根据得到是证明三角形全等的关键．
根据得到，又，，所以≌，根据全等三角形对应边相等即可得证；
根据三角形全等得，所以是等腰三角形．
 

24.【答案】证明：如图，作，垂足为E，，垂足为F．

平分，，，
．
，
．
≌．
．
，
即．
．
是等腰三角形．
 

【解析】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键．要证明三角形是等腰三角形，只需证明即可，只要，只要证明三角形全等即可，作，垂足为E，，垂足为F，可证≌，于是答案可得．
 

25.【答案】解：；；；都可以组合证明是等腰三角形；
选为条件证明是等腰三角形；
理由：在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
是等腰三角形．
选为条件证明是等腰三角形；
理由：，，，
≌，
，，
，
，
．
选为条件证明是等腰三角形；
理由：，
，
，
，
．
选为条件证明是等腰三角形；
理由：，，
，
，
，
，
．
 

【解析】；；；都可以组合证明是等腰三角形；选为条件证明是等腰三角形，首先证明≌，可得，根据等边对等角可得，进而得到，根据等角对等边可得，即可得到是等腰三角形．
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．