2021学年8.3 完全平方公式与平方差公式精品综合训练题

8.3完全平方公式与平方差公式同步练习沪科版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如果用平方差公式计算，则可将原式变形为

A.  B.
C.  D.

2. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形不重叠无缝隙则矩形的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 若是完全平方式，则m的值等于

A.  B.  C. 6或 D. 12或

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为

A. 45 B. 55 C. 2017 D. 2018

7. 下列各式中不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 设a，b是实数，定义的一种运算如下：，则下列结论有：
   ，则且
   
   
   
   正确的有个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是

A. 205 B. 250 C. 502 D. 520

11. 计算：

A.  B.  C.  D.

12. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知：，，则______．
14. 如图，现有甲、乙、丙三种卡片若干，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和长宽为a，b的长方形b卡片，如果要用它们拼成边长为的正方形，则需要甲乙丙三种卡片共______张．
     

15. 计算：______．
16. 若是关于x的完全平方式，则______．
17. 设，，若，，则______．
18. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
    请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
    方法1：______，
    方法2：______；
    观察图2，请你写出代数式：，，ab之间的等量关系______；
    根据题中的等量关系，解决如下问题：
    已知：，，求ab的值；
    已知，求的值．

20. 如图1，阴影部分的面积是______写成平方差的形式
    若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是______写成多项式相乘的积形式
    比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：______．
    应用公式计算：

21. 设，，，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以，，都能被8整除．
    试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
    若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，为完全平方数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 【阅读材料】
    我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
    在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
    【理解应用】
    观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
    【拓展升华】
    利用中的等式解决下列问题．
    已知，，求ab的值；
    已知，求的值．

23. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
    上述操作能验证的等式是______请选择正确的一个
    A.
    B.
    C.
    若，，求的值；
    计算：

24. 阅读下列材料
    利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
    例题：求的最小值．
    解：．
    因为不论x取何值，总是非负数，即．
    所以．
    所以当时，有最小值，最小值是1．
    根据上述材料，解答下列问题：
    填空：____________．
    将变形为的形式，并求出的最小值．
    如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为：如图所示的第二个长方形边长分别是5a、，面积为试比较与的大小，并说明理由．

25. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
    用含a、b的代数式分别表示、；
    若，，求的值；
    当时，求出图3中阴影部分的面积．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
故选：C．
能用平方差公式计算式子的特点是：两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数．把看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
本题主要考查了平方差公式的应用．注意公式中的a与b的确定是解题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：长方形的面积为：




答：矩形的面积是．
故选：D．
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方公式进行计算，要熟记公式．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、完全平方公式进行计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：A、错误．不是同类项不能合并；
B、错误．应该是；
C、正确；
D、错误．应该是；
故选：C．
根据多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则一一判断即可；
本题考查多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
故选：A．
根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：A、结果是，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平方差公式逐个判断即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、，故原题计算错误；
故选：C．
利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：，，
，即：，
、b互为相反数，因此不符合题意，
，，
因此符合题意，
，，故不符合题意，
，，
，

故符合题意，
因此正确的个数有2个，
故选：B．
根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：设较小的奇数为x，较大的为，
根据题意得：，
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，符合题意．
故选：D。
设较小的奇数为x，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可。
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键。
 

11.【答案】A
 

【解析】解：，
故选：A．
利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：A、x与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

13.【答案】38
 

【解析】解：，
，
，
故答案为38．
根据完全平方公式即可解题．
本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用．
 

14.【答案】25
 

【解析】解：正方形的面积为，
，
故答案为：25．
根据完全平方公式先求出正方形的面积，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能求出正方形的面积是解此题的关键，注意：．
 

15.【答案】1
 

【解析】解：原式，
故答案是：1．
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

16.【答案】或7
 

【解析】解：是关于x的完全平方式，
，
解得：或7，
故答案为：或7．
直接利用完全平方公式的定义得出，进而求出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，
两式相减得，
解得，
则．
故答案为：．
根据完全平方公式得到，，两式相减即可求解．
本题考查了完全平方公式，完全平方公式：．
 

18.【答案】5
 

【解析】解：根据题意得：
当，时，．
故答案为：5
由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将与ab的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：方法1：，
方法2：；
故答案为，；
由面积相等，可得；
故答案为；
，
，
；
，
，
即，
．
正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；
由同一图形面积相等即可得到关系式；
根据，将所给条件代入即可求解．
本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握整式的运算，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】   
 

【解析】解：如图所示，阴影部分的面积是，
故答案为：；
根据题意知该长方形的长为、宽为，
则其面积为，
故答案为：；
由阴影部分面积相等知，
故答案为：；




．
根据面积的和差，可得答案；
根据矩形的面积公式，可得答案；
根据图形割补法，面积不变，可得答案；
根据平方差公式计算即可．
本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：

能被8整除．
由知，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由、、、四个完全平方数可知，
所以n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．
 

【解析】由题意，是相邻俩奇数、的平方差，化简结果是8的倍数，可整除；
由找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．
本题主要考查了数字的变化规律，利用代数式来表示一般规律，利用已总结的规律进一步探索、发现、归纳得出下一步结论是本题难点．
 

22.【答案】解：．
由题意得：，
把，代入上式得，．
由题意得：．
 

【解析】图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为，从另外一个角度，也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即，可得等式；
将，进行变形为，再整体代入即可；
利用完全平方公式，进行变形可求答案．
考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求出答案．
 

23.【答案】解：
，且






 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
利用平方差公式计算即可．
利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【解答】
解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，剩余部分面积为；图长方形面积为；
验证的等式是
故答案为：B．
见答案；
见答案．  

24.【答案】解：，4；  



，
当时，的最小值为；
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】解：，
故答案为：16；4；
见答案．

根据完全平方公式解答；
利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答；
根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则分别求出、，求出，根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性解答．
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

25.【答案】解：由图可得，，；

，
，，
；

由图可得，，
，
．
 

【解析】根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、；
根据，将，代入进行计算即可；
根据，，即可得到阴影部分的面积．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．