初中数学沪科版七年级下册8.3 完全平方公式与平方差公式第1课时教案及反思

这是一份初中数学沪科版七年级下册8.3 完全平方公式与平方差公式第1课时教案及反思，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时 完全平方公式





1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)


2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)





一、情境导入


计算：


(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；


(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.


由上述计算，你发现了什么结论？


二、合作探究


探究点：完全平方公式


【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算


利用完全平方公式计算：


(1)(5－a)2；


(2)(－3m－4n)2；


(3)(－3a＋b)2.


解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．


解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；


(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；


(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.


方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．


【类型二】 构造完全平方式


如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．


解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．


解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.


方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．


【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算


利用完全平方公式计算：


(1)992; (2)1022.


解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．


解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；


(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.


方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．


【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值


若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.


(1)求eq \f(1,x2)＋eq \f(1,y2)的值；


(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．


解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．


解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴eq \f(1,x2)＋eq \f(1,y2)＝eq \f(x2＋y2,x2y2)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,x2y2)＝eq \f(9－2×2,22)＝eq \f(5,4)；


(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.


方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．


【类型五】 完全平方公式的几何背景


我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )





A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)


B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2


C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2


D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2


解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.


方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．


【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题


下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．





(a＋b)1＝a＋b，


(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，


(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，


则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.


解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.


方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．


三、板书设计


1．完全平方公式


两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．


(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.


2．完全平方公式的运用





本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆