高中数学第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件课时训练

[A　基础达标]

1．使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．x≥0　　　　　　　　　　

B．x＜0或x＞2

C．x∈{－1，3，5}   

D．x≤－或x≥3

解析：选C．选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件．

2．“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)

A．a＝  B．a＜

C．a＜1  D．a≥1

解析：选D．由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，所以a≥1.故选D．

3．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B．由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之，由x(y－2)＝0，得x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B．

4．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．“a＞0且b＞0”可以推出“a＋b＞0且ab＞0”，反之也是成立的．故选C．

5．“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．A∩B＝A⇔A⊆B.

6．“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是________．

解析：因为方程x2－2x－a＝0没有实数根，所以有Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1，因此“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的必要条件是a＜－1.反之，若a＜－1，则Δ＜0，方程x2－2x－a＝0无实数根，从而充分性成立．故“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是“a＜－1”．

答案：a＜－1

7．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

解析：由|x－1|＜2得－1＜x＜3，由x(x－3)＜0得0＜x＜3，{x|0＜x＜3}{x|－1＜x＜3}，由此可知“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

8．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：

充要条件①______________________________________________________；

充要条件②______________________________________________________.

(写出你认为正确的两个充要条件)

答案：①两组对边分别平行　②一组对边平行且相等

9．若不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值．

解：3x＋a≥0化为x≥－.

由题意＝{x|x≥2}，

所以－＝2，a＝－6.

10．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy＞0时，x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

[B　能力提升]

11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．因为A，B两个几何体等高，所以由祖暅原理得，若A，B的体积不相等，则等高处的截面面积不恒相等，所以p⇒q.当等高处截面面积不恒相等时，A，B的体积有可能相等，例如：A，B为两个一模一样的圆锥，一个底面向上放置，一个底面向下放置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q推不出p.因此p是q的充分不必要条件．

12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)

解析：选BD．由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．

13．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x＞－1.其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2＜1的一个必要不充分条件的所有序号为________．

解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，而{x|0＜x＜1}{x|－1＜x＜1}，{x|－1＜x＜0}{x|－1＜x＜1}，所以0＜x＜1和－1＜x＜0都可作为x2＜1的一个充分不必要条件．因为{x|－1＜x＜1}{x|x＜1}，{x|－1＜x＜1}{x|x＞－1}，所以x＜1和x＞－1均可作为x2＜1的一个必要不充分条件．

答案：②③　①⑤

14．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

证明：必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.

所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0.

因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

[C　拓展探究]

15．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的什么条件？并说明理由．

解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充要条件．理由如下：

当a，b，c∈R，a≠0时，

若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，

故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充分条件；

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，则a－b＋c＝0，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的必要条件．

综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充要条件．