2021学年1.4 充分条件与必要条件课后练习题

这是一份2021学年1.4 充分条件与必要条件课后练习题，共5页。

1．下列语句是命题的是( )
A．今天天气真好啊！
B．你怎么又没交作业？
C．x＞2
D．方程x2＋2x＋3＝0无实根
解析：选D．A项是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B项是问句，不能判断真假，不是命题；C项不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D项是真命题．
2．俗语云：“好人有好报．”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．无法判断
解析：选A．这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A．
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
解析：选A．x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2.故选A．
4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
解析：选B．对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．
5．设x∈R，则“ eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(＜\f(1,2)))))”是“x3＜1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜ eq \f(1,2)，所以－ eq \f(1,2)＜x－ eq \f(1,2)＜ eq \f(1,2)，解得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1.据此可知“ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜ eq \f(1,2)”是“x3＜1”的充分条件．故选A．
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．
解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件．
答案：充分条件但不是必要
7．已知a，b都是实数，那么“ eq \r(a)＞ eq \r(b)”是“|a|＞|b|”的______条件．
解析： eq \r(a)＞ eq \r(b)可得a＞b≥0，可以推出|a|＞|b|，但|a|＞|b|推不出 eq \r(a)＞ eq \r(b).
答案：充分条件但不是必要
8．下列式子：
①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.
其中能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立的充分条件有________．(填序号)
解析：根据 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)，可得 eq \f(b－a,ab)＜0，故b－a与ab异号．对于①，由a＜0＜b，可得b－a＞0，ab＜0，故①能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立；对于②，由b＜a＜0，可得b－a＜0，ab＞0，故②能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立；对于③，由b＜0＜a，可得b－a＜0，ab＜0，故③不能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立；对于④，由0＜b＜a，可得b－a＜0，ab＞0，故④能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立．故能使 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立的充分条件有①②④.
答案：①②④
9．判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题．
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；
(3)对顶角相等；
(4)二次函数的图象一定开口向上吗？
解：(1)是命题，真命题；(2)是命题，假命题．因为平行四边形的对角线不一定相等；(3)是命题，真命题；(4)不是命题，因为该语句不是陈述句．
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ eq \r(x－1).
解：(1)因为a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要条件但不是充分条件．
(2)因为四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件但不是充分条件．
(3)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝ eq \r(x－1)，x－1＝ eq \r(x－1)⇒x＝1或x＝2，所以p既是q的充分条件又是q的必要条件．
[B 能力提升]
11．(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是( )
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
解析：选BCD．设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0.所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件可以为B，C，D．故选BCD．
12．(多选)下列说法中正确的是( )
A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件
B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件
解析：选ABC．由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”不是“x＝1”的充分条件，D错误．故选ABC．
13．若“－1≤x≤1”是“不等式|x－m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：因为|x－m|≤2，所以m－2≤x≤m＋2.记A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．又因为“－1≤x≤1”是“不等式|x－m|≤2”成立的充分条件，所以A⊆B，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2≤－1，,m＋2≥1，))解得－1≤m≤1，即实数m的取值范围是{m|－1≤m≤1}．
答案：{m|－1≤m≤1}
14．已知p：4x＋m＜0，q：x2－x－2＞0，若p是q的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：因为4x＋m＜0，
所以x＜－ eq \f(m,4) ，
所以p：x＜－ eq \f(m,4) .
因为x2－x－2＞0，
所以x＜－1或x＞2.
所以q：x＜－1或x＞2.
因为p是q的一个充分不必要条件，
所以－ eq \f(m,4) ≤－1，所以m≥4.
即实数m的取值范围是[4，＋∞).
[C 拓展探究]
15．(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？
解：(1)若2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件，
则只要 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(m,2)))))⊆{x|x＜－1或x＞3}，即只需－ eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＜3的充分条件．
(2)若2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(m,2)))))，这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件．