2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题10 代数式中的图形规律问题（解析版）

专题10  《代数式》中的图形规律问题

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：

1. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2018次后，骰子朝下一面的点数是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
【解答】
解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
，
滚动第2018次后与第二次相同，
朝下的数字是4的对面3，
故选B．  

2. 下列图形都是由同样大小的圆圈按照一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆圈，第2个图形中一共有10个圆圈，第3个图形中一共有18个圆圈，按此规律排列下去，第10个图形中圆圈的个数为   

A. 100 B. 110 C. 120 D. 130

【答案】D

【解析】略
 

3. 汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图中共有12个圆点，图中共有18个圆点，图中共有25个圆点，图中共有33个圆点依此规律则，图中共有圆点的个数是

A. 63 B. 75 C. 88 D. 102

【答案】B

【解析】解：在图中，圆点个数为个．
在图中，圆点个数为个．
在图中，圆点个数为个．
在图中，圆点个数为个．

以次类推，在图中，圆点个数为



．
故选：B．
观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
本题主要考查学生的观察与比较分析的能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题．
 

4. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”如1，3，6，和“正方形数”如1，4，9，，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则的值为

A. 33 B. 301 C. 386 D. 571

【答案】C

【解析】解：由图形知第n个三角形数为，第n个正方形数为，
当时，，当时，，
所以最大的三角形数；
当时，，当时，，
所以最大的正方形数，
则，
故选：C．
由图形知第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
本题主要考查图形变化规律问题以及新定义问题，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为，第n个正方形数为．
 

5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，，以此类推，则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：，，，，，；



，
故选：C．
首先根据图形中“”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
 

6. 如图中的图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，图中一共有3个菱形，图中一共有7个菱形，图中一共有13个菱形，，按此规律排列下去，图中菱形的个数为   

A. 73 B. 81 C. 91 D. 109

【答案】C

【解析】整个图形可以看成是由两部分组成：上半部分是由菱形组成的一个大菱形，下半部分是由菱形组成的一条线段，我们可以用一个表格来呈现各自的变化规律：
 

由此，可知图中菱形个数为，
当时，题图中有个菱形．

二、填空题

7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，，以此类推，则的值为______．

【答案】

【解析】解：观察图形，得
第1幅图形中有“”的个数为3个，即
第2幅图形中有“”的个数为8个，即
第3幅图形中有“”的个数为15个，即

第为正整数幅图形中有“”的个数为个，即
第8幅图形中有“”的个数为80个，即





故答案为．
根据图形的变化先确定每幅图形的“”的个数从而得到一般性的规律，再进行分数的变式计算即可求解．
本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过图形的变化寻找一般性的规律，同时需要注意需要分数的变形才能求值．
 

8. 如图，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，则：
    

在数轴上表示的数为          

在数轴上表示的数为          

如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是          ．

【答案】

16

13

【解析】略
 

9. 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数1所对应的点重合．

若将圆在数轴上向右滚动，数轴上的数2所对应的点将与圆周上的字母          所对应的点重合，数2021所对应的点将与圆周上的字母          所对应的点重合；

若将圆在数轴上向左滚动，数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母          所对应的点重合．

【答案】D 

A

B

【解析】略
 

10. 某餐厅中1张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：

对于方式一，4张桌子拼在一起可坐          人，对于方式二，n张桌子拼在一起可坐          人；

该餐厅有30张这样的长方形桌子，由于受场地限制，可按方式一的拼法每5张拼成一张大桌子，或按方式二的拼法每6张拼成一张大桌子，一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，若你是这家餐厅的经理，你打算选择方式          来摆放桌子．

【答案】18

一

【解析】略
 

11. 如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则M的值为          ．

【答案】143

【解析】由题意，得．
 

12. 如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n个图形中阴影部分小正方形的个数是          ．

【答案】

【解析】观察题图可知，

第一个图形中阴影部分小正方形的个数为；

第二个图形中阴影部分小正方形的个数为；

第三个图形中阴影部分小正方形的个数为；

所以第n个图形中阴影部分小正方形的个数为．

三、解答题

13. 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．如果图3中的圆圈共有13层．
    

我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，，则最底层最左边这个圆圈中的数是____；

我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数，，，，，求最底层最右边圆圈内的数是____；

求图4中所有圆圈中各数值之和．写出计算过程

【答案】解：；
；
图4中共有91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的和为：



．

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法．
层时最底层最左边这个圆圈中的数是第12层的最后一个数加1；
首先计算圆圈的个数，用数的个数减去1就是最底层最右边圆圈内的数；
利用把所有数的绝对值相加即可．
【解答】
当有13层时，图3中到第12层共有：个圆圈，
最底层最左边这个圆圈中的数是：；
故答案为79；
图4中所有圆圈中共有个数，
最底层最右边圆圈内的数是；
故答案为67；
见答案．  

14. 观察图，它是把一个三角形分别连结其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的1个小三角形如图，对剩下的3个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去如图，图，观察规律解答以下各题：

填写下表：

根据这个规律，求图中挖去三角形的个数用含n的代数式表示；

若图中挖去三角形的个数为，求．

【答案】解：图挖去中间的1个小三角形， 
图挖去中间的个小三角形， 
图挖去中间的个小三角形， 
则图挖去中间的个小三角形． 
故答案为．

由知，图中挖去三角形的个数．

因为，  
， 
所以．

【解析】见答案
 

15. 【问题】用n个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？矩形表示矩形的邻边是2和
    【探究】不妨假设有种不同的镶嵌方案．为探究的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
    探究一：用1个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    如图，显然只有1种镶嵌方案．所以，．
    
    探究二：用2个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    如图，显然只有2种镶嵌方案．所以，．
    探究三：用3个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个矩形，有1种镶嵌方案；
    二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个矩形，有2种镶嵌方案；
    如图所以，．
    探究四：用4个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个矩形，有______种镶嵌方案；
    二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个矩形，有______种镶嵌方案；
    所以，______．
    探究五：用5个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    仿照上述方法，写出探究过程，不用画图
    【结论】用n个矩形，镶嵌一个矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
    直接写出与，的关系式，不写解答过程．
    【应用】用10个矩形，镶嵌一个矩形，有______种不同的镶嵌方案．

【答案】2  3    89

【解析】解：探究四：
如图4所示：

一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个矩形，有2种镶嵌方案；
二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个矩形，有3种镶嵌方案；
所以，．
故答案为：2，3，5；

探究五：
一类：在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个矩形，有3种镶嵌方案；
二类：在探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个矩形，有5种镶嵌方案；
所以，．

【结论】：；

【应用】
．
故答案为：89．
探究四：画图进行说明：；
探究五：同理在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个矩形和探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌个1个矩形，相加可得结论；
【结论】：根据探究四和五可得规律：；
【应用】利用结论依次化简，将右下小标志变为5和4，并将探究四和五的值代入可得结论．
本题是规律型问题和方案作图题，主要考查了计数方法，培养学生根据已知问题和图形的关系，进行分析推断，得出规律的能力，并运用类比的方法解决问题．
 

16. 如图，是2020年11月的月历，“L”型、“反Z”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格可以重叠覆盖，设“L”型阴影覆盖的最小数字为四个数字之和为，“反Z”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为
    
    ______用含a的式子表示，______用含b的式子表示；
    值能否为46？若能，求a，b的值；若不能，说明理由．
    从日历中取出1，3，6，10，15，21，28，寻找其规律，并按此规律继续排列下去，若将第1个数记为，第2个数记为，，第n个数记为，则______ ．

【答案】；．
由得，
设，
得．
又，b都为正整数，
，．
时，反Z型不存在，
故的值不可能为46．
．

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用和发现题目隐含的规律．还要熟练掌握分式的运算．
设“L”型阴影覆盖的最小数字为a，其它数字分别为、、，四个数字之和为，相加即可求出值．同理求出
先计算出，假定其结果等于46，求出a，b满足的等式，根据a，b为正整数，即可作出判断．
根据分式运算隐含的规律可得出结果．
【解答】
解：，
．
，
．
故答案为：；．
见答案；
由题意：原式





．
故答案为：．  

17. 用边长为1米的正方形彩色水泥砖和普通水泥砖，按下图方式铺一条5米宽的人行道，图中黑色部分为彩色水泥砖，白色部分为普通水泥砖．
     

如果人行道长10米，则需要彩色水泥砖________块；如果人行道长11米，则需要彩色水泥砖________块；

如果人行道长x米为正偶数，则需要彩色水泥砖________块；如果人行道长x米为正奇数，则需要彩色水泥砖________块；

在购买水泥砖时，恰逢市场促销，彩色水泥砖30元块，普通水泥砖20元块，优惠方案为：买一块彩色水泥砖赠送一块普通水泥砖．如果人行道长x米为正整数，用含x的代数式表示购买水泥砖所需的总金额．

【答案】解：；17；
；；
当x为正偶数时：，
，
当x为正奇数时：，
．

【解析】

【分析】
本题考查了列代数式、求代数式的值等知识点．通过图表发现规律是解决本题的关键．注意对x的奇偶讨论．
 观察图形，发现规律：如果长度是偶数米，每2米用3块彩色水泥砖；如果长度是奇数米，则每2米比偶数多加块，据此计算得到结果；
根据中图形分析出的规律可得到长度与所用的彩色砖关系，可得结果；
分别根据当x为正偶数时和当x为正奇数时两种情况进行计算讨论．
【解答】
解：如果人行道长10米，则需要彩色水泥砖：块；
如果人行道长11米，则需要彩色水泥砖：块．
故答案为15；17；
如果人行道长x米为正偶数，则需要彩色水泥砖：块，
如果人行道长x米为正奇数，则需要彩色水泥砖：块．
故答案为；；
见答案．  

18. 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成11个部分图中显示了部分分割情况，第部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第部分是第部分面积的一半，第部分是第部分面积的一半，，依此类推，请你通过数形结合的方法，计算的值为______；受此启发，按照以上方法，若将一个边长为a的正方形纸片分割成个部分其中n为正整数，那么第n部分的面积为______用含a，n的代数式表示

【答案】；

【解析】

【分析】

题目考查了图形与数字变化结合的知识，通过图形的变化与数字结合起来，找出二者的关系，进而求出题目答案．结合图形，可以发现，正方形面积为1，第部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，即第部分的面积为，第部分是第部分面积的一半，即第部分的面积为，第部分是第部分面积的一半，即第部分的面积为，，依次类推，的值为整个正方形面积1减去第11部分的面积；根据以上分析，可得若将一个边长为a的正方形纸片分割成个部分其中n为正整数，那么第n部分的面积为．

【解答】

 解：正方形边长为1，

正方形面积为1．
是边长为1的正方形纸片面积的一半，
的面积为，
依此论推的面积为，
的面积为，

，

第n部分的面积为，

的值为整个正方形面积1减去第11部分的面积，

即；

由以上分析可得若将一个边长为a的正方形纸片分割成个部分其中n为正整数，

那么第n部分的面积为．

故答案为；．