2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题09 代数式中的数字规律问题（解析版）

专题09  《代数式》中的数字规律问题

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：

1. 观察下列等式：，，，，，，，，则的末位数字是   

A. 0 B. 2 C. 3 D. 9

【答案】C

【解析】略
 

2. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
   
   根据此规律确定x的值为

A. 135 B. 170 C. 209 D. 252

【答案】C

【解析】

【分析】
此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．首先根据图示，根据规律先求出a的值是多少，再求出b；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．
【解答】
解：由图中的规律可得：
，
，
，
，




故选：C．  

3. 将正奇数按下表排成5列：

若2021在第m行第n列，则

A. 256 B. 257 C. 510 D. 511

【答案】B

【解析】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第列，偶数行排在第列，
其次，奇数可以用表示，当时，，即2021是排在第1011个位置．
在上表中，因为每行有4个数，且，因此2021应该在第253行，第4列，
即，．
，
故选：B．
观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第列，偶数行排在第列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．
本题考查数字规律，会用表示奇数，并且据此推断某个奇数的位置．
 

4. 有一列数，按一定规律排成，其中相邻的三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为

A. a B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】
本题主要考查的是数字的变化类，一元一次方程的应用的有关知识，设相邻的三个数的和为a的这三个数中的第一个数为x，则第2个数为，第三个数为，然后根据题意列出方程求解出x，再进行计算即可．
【解答】
解：有一列数，按一定规律排成，
设相邻的三个数的和为a的这三个数中的第一个数为x，则第2个数为，第三个数为，
，
解得：，
则第2个数为，第三个数为，
与异号，与同号，
这三个数中最大的数与最小的数的差为．
故选C．  

5. 求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：根据题中的规律，设，
则，
所以，
，
故选：C．
根据题目所给的信息，找出其中规律，求解本题．
本题主要考查了数字的变化规律问题，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
 

6. 观察下列等式：，，，，，，，那么的结果的末位数字是   

A. 0 B. 4 C. 6 D. 9

【答案】B

【解析】 的末位数字是0，的末位数字是0，所以的末位数字是0，又的末位数字是4，故的末位数字是4．
 

7. 已知一列数，，，，具有如下规律：，是正整数若，则的值为

A. 1 B. 5 C. 7 D. 11

【答案】D

【解析】解：由，是正整数可得：
．
故选：D．
根据题干公式寻找规律．
考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项．
 

二、填空题

8. 为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是______．

【答案】

【解析】解：令，
则，
，
，
故答案为
令则，两个式子相减即可解决问题．
本题考查规律型数字变化类题目，解题的关键是设则，两个式子相减即可解决问题，属于中考常考题型．
 

9. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，，请根据这组数的规律写出第10个数是．

【答案】55

【解析】解：
；
；
；
；

可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
则第8个数为；
第9个数为；
第10个数为．
故答案为55．
通过对题目中给出的数据进行分析可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．如按照这个规律即可求出答案．
此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生的通对题目中给出的图表，数据等认真进行分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．此类题目难度一般偏大．
 

10. 找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为          ．

【答案】226

【解析】略
 

11. 观察下列各式，你能发现什么规律

，而，

，而，

，而．

将你猜想到的规律用含一个字母的式子表示出来：          ．

【答案】 为正整数

【解析】 观察题中式子的规律可知，
左侧等式的左边是从3开始的两个连续奇数的积，右侧等式的右边是一个从4开始的偶数的平方与1的差，
因此可得为正整数．
 

12. 如图，按此规律，第6行最后一个数字是          ，第          行最后一个数是2020．

【答案】16

674

【解析】略
 

13. 有一个数值转换器，原理如图所示若开始输入x的值是7，发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是          ，依此继续下去，第2021次输出的结果是          ．

【答案】3

4

【解析】略
 

三、解答题

14. 探索发现：，，，，根据你发现的规律，回答下列问题：
    ，；

利用你发现的规律计算：；

灵活利用规律解方程：．

【答案】解：， ；
 原式，
，
，
；
，

，
，
解得，
经检验，为原方程的根．

【解析】

【分析】
利用分式的运算和题中的运算规律求解；
利用前面的运算规律得到原式，然后合并后通分即可；
利用前面的运算规律方程化为，然后合并后解分式方程即可．
本题考查了解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．理解分式的计算规律：．  

15. 观察：已知．
    
    
    
    
    猜想：______；
    应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
    ______；
    ______；
    拓广：______；
    判断的值的个位数是几？并说明你的理由．

【答案】     

【解析】解：猜想：；
；
；
拓广：；
个位上数字为2，理由为：


，
，，，，，其结果以2，4，8，6循环，
，
则个位上数字为8，即个位上数字为7．
根据一系列等式总结出规律即可；
应用利用得出的规律计算即可得到结果；
所求式子变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
拓广所求式子第一个因式提取变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
所求式子个位上数字为2，理由为：将所求式子变形后，利用规律计算，根据以2为底数的幂结果以2，4，8，6循环，用2011除以4得到余数为3，即可得到结果个位上的数字为2．
此题考查了整式混合运算的应用，找出本题的规律是解本题的关键．
 

16. 有n个数，第一个记为，第二个记为，，第n个记为若，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．

          ，          ，          ．

根据的计算结果，猜想          ，          ．

计算的值．

【答案】解：        
     



．

【解析】见答案
 

17. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼．

【答案】解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．
设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：
，
，
，
，
．
又当，时，，
故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．

【解析】通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．
此题是一道有趣的实际问题，在乘电梯时经常遇到．根据有32人乘电梯，而楼有33层这个事实，列出不满意的总分，得到关于x、y的完全平方式，然后根据非负数的性质解答．
 

18. 把正整数1，2，3，4，排成如下数表．

在第          行，第          列

第n行第3列的数是          用含n的代数式表示．

嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数x，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行”你认为嘉嘉说得有道理吗计算说明理由．

【答案】解：  4 
 
根据计算程序，可知淇淇所得的数为．
所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行，所以嘉嘉说得有道理．

【解析】见答案