2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题01 有理数中的典型题（解析版）

专题01  《有理数》中的典型题

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：

1. 已知，，且，则的值为

A.  B. 或 C. 或7 D. 或

【答案】D

【解析】【试题解析】

解：，，
、，
又，
，
则、或、，
所以或，
故选：D．
根据，，求出，，然后根据，可得，然后分情况求出的值．
本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出x和y的值．

2. 已知，x是整数，若满足条件的值有7个，则a的取值可能是

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】
此题考查了绝对值，关键是根据绝对值的定义得出绝对值相等的数有两个．根据题意得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：，
，
是整数，满足条件的值有7个，
这7个整数分别是：，，，0，1，2，3，
，
故a的取值可能是：4．
故选B．  

3. 若三个有理数a，b，c满足，且，则一定有

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】
本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据有理数的加法法则判断即可．
【解答】
解：有理数a、b、c满足，且，
，．
故选D．  

4. 某公园划船项目收费标准如下：
    

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为    元．

A. 370 B. 380 C. 390 D. 410

【答案】B

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分四类情况，分别计算即可得出结论．
【解答】
解：共有18人，
当租两人船时，
艘，
每小时90元，
租船费用为元，
当租四人船时，
余2人，
要租4艘四人船和1艘两人船，
四人船每小时100元，
租船费用为元，
当租六人船时，
艘，
每小时130元，
租船费用为元，
当租八人船时，
余2人，
要租2艘八人船和1艘两人船，
人船每小时150元，
租船费用元
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，元，
租船费用为元，
而，
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，
故选B．  

5. 计算的结果是

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】
本题主要考查了有理数的乘方、有理数的混合运算、因式分解的应用等知识点的综合应用．
【解答】
解：


  

6. 正整数x、y满足，则等于

A. 18或10 B. 18 C. 10 D. 26

【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了整数的乘法，本题中根据或分类讨论是解题的关键．易得、均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．
【解答】

解：、y是正整数，且最小的正整数为1，
是整数且最小整数为，是整数且最小的整数为
，或，
存在两种情况：，，解得：，，；
，解得：；
或10，
故选：A．
 

7. 如果，则

A. m、n同号 B. m、n异号
C. m、n为任意有理数 D. m、n同号或m、n中至少一个为零

【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键．分三种类型分别分析即可：m、n同号；m、n异号；m、n中至少一个为零．
【解答】
解：当m、n同号时，有两种情况：
，，此时，，故成立；
，，此时，，故成立；
当m、n同号时，成立；
当m、n异号时，则：，故不成立；
当m、n中至少一个为零时，成立．
综上，如果，则m、n同号或m、n中至少一个为零．
故选：D．  

8. 设a是大于1的有理数，若a，在数轴上对应点分别记作A，B，C，则A，B，三点在数轴上自左至右的顺序是   

A. C，B，A B. B，C，A C. A，B，C D. C，A，B

【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查了数轴及有理数的比较大小，理解数轴上右边的数大于左边的数是解题关键首先应比较它们的大小，可用取特殊值法，然后根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的大．
【解答】
解：是大于1的有理数，不妨设，
 则，，
 又； 
 ，B，C三点在数轴上自左至右的顺序是B，C，A．
 故选B．  

二、填空题

9. 已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是______．

【答案】1119

【解析】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c为1，此时b只能为1．
所以此数为1119．
故答案为1119．
要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是，，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答．
此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．
 

10. 按下列程序输入一个数x，若输入的数，则输出结果为______．

【答案】4

【解析】

【分析】
根据运算程序算出第一、二次运算结果，由第二次运算结果为即可得出结论．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】
解：，
第一次运算结果为；
，
第二次运算结果为4；
，
输出结果为4．
故答案为：4．  

11. 有三个互不相等的整数a、b、c，如果，那么 ______ ．

【答案】或9

【解析】解：，
、b、c、d是互不相等的整数，且，
、b、c三个数为、3、，或1、、9，
那么或，
故答案为：或9．
把9分解质因数，然后判断出a、b、c三个数，再求和即可．
本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据9的质因数判断出a、b、c、d四个数的值是解题的关键．
 

12. 若实数m，n，p满足且，则的最小值是______．

【答案】

【解析】解：，
、p异号，
，
，，
且，
，
如图所示：

当时，有最小值，其最小值是：，
则的最小值是，
故答案为：．
先根据，确认，，再根据已知可得：，并画数轴标三个实数的位置及和的位置，根据图形可知：当时，有最小值，代入可得最小值．
本题考查绝对值的几何意义，即这个数表示的点到原点的距离．
 

13. 若与互为相反数，则的值为______ ．

【答案】5

【解析】解：由题意得，，
则，，
解得，，，
则，
故答案为：5．
根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
 

14. 若，则x一定是正数。 一个数同相乘得这个数的相反数 如果两个数的和为零，那么这两个数一定是一正一负。  互为倒数的两个数的积为两个有理数的差不一定小于被减数。任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等。其中正确的有______

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查绝对值、相反数、倒数的概念与性质．由绝对值的意义可判定，根据相反数的定义可判定，由有理数加法法则可知，可判定，根据倒数的定义可判定，根据有理数的减法法则可判定，根据零的绝对值与零的相反数都是零，可判定，从而可得出答案．
【解答】
解：，
，即x为非负数，
故错误；
根据a的相反数为，即，
故正确；
由两个零相加等于零，可知错误；
两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数，
故错误；
因为减去一个等于加上这个数的相反数可知：
当减数是负数时，差应大于被减数，
当减数是正数时，差应小于被减数，
当减数是零时，差等于被减数，
所以两个有理数的差不一定小于被减数正确，
故正确；
因为零的绝对值与零的相反数相等，
故错误．
故答案为．  

15. 如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有______ 个，负整数点有______ 个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是______ ．
     

【答案】69；52；

【解析】

【分析】
本题主要考查了数轴，熟悉数轴的结构是解题的关键．根据数轴的构成可知，和之间的整数点有：，，，，共31个；和之间的整数点有：，，，16，共38个；依此即可求解．
【解答】
解：由数轴可知，
和之间的整数点有：，，，，共31个；和之间的整数点有：，，，16，共38个；
故被淹没的整数点有个，负整数点有个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是．
故答案为69；52；．  

16. 已知a、b、c表示3个互不相等的整数，这3个数的绝对值都大于1，且满足，则的最小值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的概念，有理数的加法运算以及含绝对值的一元一次方程的解法，解题关键是根据题意判断出，或，解题时，根据的值最小，且，可以判断出a为负数且必须最大，此时必须使和都最小，由a、b、c三个数是互不相等的整数且绝对值都大于1，即可得出，或，，据此求出a的值，即可得出答案．
【解答】
解：中，
要使的值最小，必须使a为负数且最大，
因此当和越小就越大，
因为a、b、c三个数是互不相等的整数，这3个数的绝对值都大于1，
当，或，时的值最小，
把，代入得：，
，
为负数，
取，
把，代入，同理可得，
，
的最小值为．
故答案为．  

三、解答题

17. 阅读材料题：
    求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著九章算术中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差或减数即为这两个正整数的最大公约数．
    例如：求91与56的最大公约数
    解：
    
    
    
    
    所以，91与56的最大公约数是7
    请用以上方法解决下列问题：
    求108与45的最大公约数；
    求三个数78、104、143的最大公约数．

【答案】解：




与45的最大公约数是9．
，
，
   ，
与78的最大公约数是26．
，
，
，
 ，
 ，
与104最大公约数是13．
、104、143的最大公约数是13．

【解析】模仿例题求解即可解决问题．
本题考查有理数的除法，有理数的减法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
 

18. 阅读下列材料：，即当时，．
    用这个结论可以解决下面问题：
    已知a，b是有理数，当时，求的值；
    已知a，b是有理数，当时，求的值；
    已知a，b，c是有理数，，，求的值．

【答案】解：已知a，b是有理数，当时，
，，；
，，；
，b异号，．
故的值为或0．
已知a，b是有理数，当时，
，，，；
，，，；
，b，c两负一正，；
，b，c两正一负，．
故的值为，或．
已知a，b，c是有理数，，．
所以，，，a，b，c两正一负，
所以


．

【解析】对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果；
对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算得结果；
根据a，b，c是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果．
本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意，结果为1，，结果为
 

19. 如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题．
    请在数轴上标出点B和点C；
    求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积；
    若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数______所表示的点重合．

【答案】

【解析】解：如图所示：

．
、B中点所表示的数为，点C与数所表示的点重合．
故答案为：．
将点A向右移动3个单位长度得到点C的位置，依据相反数的定义得到点B表示的数；
依据有理数的乘法法则计算即可；
找出AB的中点，然后可得到与点C重合的数．
本题主要考查的是数轴、相反数、有理数的乘法，在数轴上确定出点A、B、C的位置是解题的关键．
 

20. 观察下列等式：
    ，，；
    探究其中的规律，并解答下列问题：
    请直接写出第4个等式______；第n个等式______．
    计算：

【答案】 

【解析】解：第4个等式是：，第n个等式是：，
故答案为：，；





．
根据题目中给出的式子，可以直接写出第4个等式和第n个等式；
根据题目中式子的特点，将算式由后往前写，即可利用中的结论，从而可以求得所求式子的值．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出相应式子的结果．
 

21. 请你观察：
    ，；；
    ；
    ；
    以上方法称为“裂项相消求和法”
    请类比完成：
    ______；
    ______．
    计算：的值．

【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：；

原式，
故答案为：；

原式



．
将已知等式相加后两两相消可得；
根据裂项相消可得；
根据裂项相消可得．
本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握裂项相消的方法是解题的关键．
 

22. 我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与的点之间的距离表示为；可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间包含点A和点时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时x的取值范围为，
    
    请根据以上材料，解答下列问题：
    的最小值是______；，x的值为______．
    的最小值是______；此时x的值为______．
    当的最小值是时，求出a的值及x的值或取值范围．

【答案】解：；或4；
；0
由图可得，只有当且或且时，的最小值是，

当的最小值是时，且或且．

【解析】解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是4；
当时，，解得，
当时，，方程无解，
当时，，解得，
的值为或4，
故答案为：4；或4；
根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3，
故答案为：3；0；
见答案．
根据绝对值的几何意义，得出的最小值；
根据绝对值的几何意义，得出的最小值；
画出数轴，分两种情况进行讨论：当且或且时，的最小值是．
本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离远点表示数的距离，x的绝对值表示为解题时注意分类思想的运用．