2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题05 有理数中的规律题（解析版）

专题05  《有理数》中的规律题

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、解答题：

1. 观察下列算式：，，，，，，，，，则的末位数字是     

A. 8 B. 6 C. 4 D. 0

【答案】B

【解析】解：因为的个位数字是2，4，8，6，每4个一循环，而，
所以的个位数字与的个位数字相同，是4．
因此的末位数字是的末位数字．
因为，
所以的末位数字是．
 

2. 定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，；当n为偶数时，其中k是使为奇数的正整数，两种运算交替重复进行，例如，取，则
    

若，则第2018次“F”运算的结果是   

A. 1 B. 4 C. 2018 D.

【答案】A

【解析】若，
第1次运算的结果为，
第2次运算的结果为，
第3次运算的结果为，
第4次运算的结果为，
第5次运算的结果为4，
第6次运算的结果为1，

由此可以看出，从第4次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；
当次数是奇数时，结果是4，而2018是偶数，因此第2018次运算的结果是1．
故选A．

3. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，，5，，11，13，15，，21，23，25，27，29，，若表示正奇数M是第i组第j个数从左往右数，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：由已知可知，第一组1个奇数，第二组3个奇数，第三组5个奇数，
2019是第1010个数，
设2019在第n组，则，
，
当时，，
当时，，
个数在第32组，
第1024个数是，
第32组的第一数是，
则2019是第个数，
是第32组第49个数．
故选：B．
由题意可知2019是第1010个数，由，确定1010在第32组，第1024个数是，第32组的第一数是，则2019是第个数，即可求解．
本题考查数字的变化规律；理解题意，利用奇数和给出的分组特点，逐步确定具体位置是解题的关键．
 

4. 某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到，第2次由向右跳2个单位长度到，第3次由向左跳3个单位长度到，第4次由向右跳4个单位长度到依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是2015，则电子昆虫的初始位置所表示的数是   

A. 2065 B.  C. 1965 D.

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查数轴和规律问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据题意，可以发现题目中各个数的变化规律，从而可以求得所表示的数．
【解答】
解：设对应的数为x，
则，
，
，
，

，
表示的数恰好是2015，
，
可知，，
故选C．  

5. 已知整数，，，，满足下列条件：，，，，依此类推，则的值为    

A. 2020 B.  C.  D. 1010

【答案】C

【解析】因为，

，

，

，

，

所以n是奇数时，，n是偶数时，，

所以故选C．

6. 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上重合的点表示的数字为   

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】解：因为与之间的距离是2018个单位长度，而，所以数轴上表示数的点与圆周上表示数字2的点重合，故选C．
 

7. 计算的结果为   

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】原式

．

故选B．

8. 图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是         

A. 15 B. 25 C. 36 D. 49

【答案】C

【解析】

【分析】
此题考查了新定义问题，图形的变化规律以及有理数的加法运算，找出图形之间的联系，利用数字之间的运算规律，解决问题．由题意可知：三角形数的第n个为，正方形数的第n个为，由此逐一验证得出答案即可．
【解答】
解：由于三角形数的第n个为，正方形数的第n个为，
A、15不是平方数，因此15不是正方形数，故A选项不合题意
B、，因此25不是三角形数，故B选项不合题意
C、，且，因此36既是三角形数又是正方形数，故C选项符合题意
D、，因此49不是三角形数，故D选项不合题意．
故选C．  

9. 下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；

第2个数：；

第n个数：

在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是     

A. 第10个数 B. 第11个数 C. 第12个数 D. 第13个数

【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查的是数字的变化类，有理数的混合运算，有理数大小的比较，根据题意找出规律是解答此题的关键．
通过计算可以发现，第一个数，第二个数为，第三个数为，第n个数为，由此求第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的得数，通过比较得出答案．
【解答】
解：第1个数；
第2个数；
第3个数；

由此得出第n个数的计算结果；
第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为，，，，其中最大的数为，即第10个数最大．
故选：A．  

10. 如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则：第k次移动k个顶点如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处，按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是

A. C，E B. E，F C. G，C，E D. E，C，F

【答案】D

【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是，应停在第格，
这时p是整数，且使，分别取，2，3，4，5，6，7时，
，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若，
设2，代入可得，，
由此可知，停棋的情形与时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
 

二、填空题

11. 看一看：
    
    ；
    ；
    
    
    猜一猜：
              
              ．

【答案】4

【解析】当分母为偶数时，结果的分母为2，分子比等号左边最后一个分数的分母小1；当分母为奇数时，结果为等号左边最后一个分数的分子除以2．
．
．
 

12. 下面是一组有规律的算式，根据其中规律，第n个算式为： ______ ．
    ；第1个算式
    ；第2个算式
    ；第3个算式
    ；第4个算式
    

【答案】

【解析】解：，第一个算式，
，第二个算式，
，第三个算式，

，第n个算式．
故答案为：．
根据所给算式分母为6，分子为求解．
本题考查数字变化的规律，解题关键是通过前三个算式找出数字变化规律．
 

13. 观察下列各式：，那么          ．

【答案】1007

【解析】解：原式个1相加．
 

14. 有两个多位数，，都是按照如下方法得到的：从左边开始，将第一位数字乘2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位上对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时，仍按以上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是          ．

【答案】495

【解析】由题意，可得这个多位数是，可以看出，从第2位起，每4个数字一循环，，所以这个多位数前100位的所有数字之和为．
 

15. 若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，则          ．

【答案】

【解析】解：，
根据差倒数定义可得，，，
显然，计算结果以三个数为一组循环出现，
，
．
 

16. 的个位数字是          ．

【答案】7

【解析】解：的个位数字是1，的个位数字是7，的个位数字是9，的个位数字是3，的个位数字是1，，
和的个位数字规律为1、8、7、0四个数循环，
所以，所以原式的个位数字是7．
 

三、解答题

17. 先阅读，再解题：
    因为，，，
    所以
    参照上述解法计算：．

【答案】解：原式


．

【解析】本题主要考查了有理数的混合运算和观察数字规律问题，读懂解法是解题的关键，找准式子的变化是解题的突破口，两者不再相等，而是倍半关系。即．
 

18. 我们都知道任何一个非零数都有倒数，现定义：a是不为1的有理数，我们把称为有理数a的差倒数请根据上述定义，解决以下问题：

求有理数2的差倒数

求有理数的差倒数

已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，求的值．

【答案】解：有理数2的差倒数为．

有理数的差倒数为．

因为，

所以，

同理得，，，

由此可知每3个数一个循环，

，

所以．

【解析】略
 

19. 阅读材料，求值：．

解：设，

将等式两边同时乘2得，

下式减去上式得，

即．

请你仿照此法计算：

其中n为正整数．

【答案】解：设，

等式两边同时乘2，得，

下式减去上式，得，

即．

设，

等式两边同时乘3，得，

下式减去上式，得即，

得．

【解析】此题考查了有理数的乘方运算，考查了学生的观察与归纳能力．
 

20. 已知一组数，，，，，，从左往右数，第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是，以此类推，第n个数是．

分别写出第5个数、第6个数；

记这组数的前n个数的和是，如：

   可表示为；

   可表示为；

   可表示为；

   可表示为

请计算的值．

【答案】解：
第5个数是：，第6个数是：；
因为第n个数是，
所以当n为奇数时，第n个数为；
当n为偶数时，第n个数为；
所以

．

【解析】本题考查数字的规律；根据所给数的特点，将n分为奇数和偶数两种情况解题是关键．
由已知规律直接可得；
由第n个数的特点，分别求出当n为奇数时，第n个数为；当n为偶数时，第n个数为，再求
 

21. 【了解概念】

对于一个三位数各数位上的数都不为零，任意两个数位上的数对调后得到三个新三位数，，，将的计算结果称为数x的伴随数，记为

例如，，对调百位与十位上的数得到213，对调百位与个位上的数得到321，对调十位与个位上的数字得到132，即123的伴随数为6．

【理解运用】

填空：              ，若，则             写出一个即可；

设一个三位数x的百位、十位、个位上的数分别为a、b、，某学习小组经过探究发现数x的伴随数该结论正确吗？说明理由；
【拓展提升】

若一个三位数y的百位上的数为m、十位上的数为、个位上的数为2 m，且，求这个三位数y．

【答案】解：根据定义可得，．
由，，
可得若，则个位、十位、百位上的数字之和等于9，且不为0，
例如，即；
故答案为：13；答案不唯一；
数x的伴随数该结论正确，理由如下，
一个三位数x的百位、十位、个位上的数分别为a、b、，
，
由定义可得

．
故该结论正确；
，且由结论可得，
，
解得．
则百位上的数为2、十位上的数为1、个位上的数为4，
这个三位数y为214．

【解析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，看懂题目的新定义是解题的关键．
由新定义得，根据有理数的运算法则计算求解；根据定义可得个位、十位、百位上的数字之和等于9，且不为0，即可求解；
先用a、b、c表示出这个三位数，即，再利用新定义计算证明即可；
根据已知和新定义，成立m的方程，求解即可．