人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用复习练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A．]
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OQ,\s\up7(→))＝( )
A．eq \(OH,\s\up7(→))B．eq \(OG,\s\up7(→))
C．eq \(FO,\s\up7(→))D．eq \(EO,\s\up7(→))
C [在方格纸上作出eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OQ,\s\up7(→))，如图，易知eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OQ,\s\up7(→))＝eq \(FO,\s\up7(→)).
]
3．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝0
C．若eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
BD [A错，若a＋b＝0时，方向是任意的；B正确；C错，A，B，C三点共线时也满足；D正确．]
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A．eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(FA,\s\up7(→))
B．eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝0
C．eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))≠0
D．eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))≠0
D [容易判断eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AC,\s\up7(→))≠0.故选D．]
5．若在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形B．锐角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
D [由于eq \(AB,\s\up7(→))＝|a|＝1，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|b|＝1，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝|a＋b|＝eq \r(2)，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D．]
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中．
(1)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DO,\s\up7(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝________.
(1)eq \(AC,\s\up7(→)) (2)eq \(AO,\s\up7(→)) (3)eq \(AD,\s\up7(→)) (4)0 [(1)由平行四边形法则可知eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))；
(2)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DO,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DO,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))；
(3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))；
(4)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝0.]
7．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
8eq \r(2)km 北偏东45° [如图所示，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，则eq \(AC,\s\up7(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|eq \(AC,\s\up7(→))|＝8eq \r(2)，∠BAC＝45°.]
8．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．
|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角．]
三、解答题
9．在青海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[解] 如图所示，设eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))分别是直升飞机两次位移，则eq \(AC,\s\up7(→))表示两次位移的合位移，即eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)).
在Rt△ABD中，
|eq \(DB,\s\up7(→))|＝20 km，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝20eq \r(3) km，
在Rt△ACD中，
|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(|\(\(AD,\s\up7(→)))|2＋|\(DC,\s\up7(→))|2)＝40eq \r(3) km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq \r(3) km处．
10．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝0.
[证明] 连接EF(图略)，由题意知，eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(CB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→)).
由平面几何知识可知，eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(FA,\s\up7(→)).
∴eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))＋(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→)))＋(eq \(CB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→)))
＝(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→)))＋(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))
＝(eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(EC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→)))＋0
＝eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＋eq \(FA,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝0.
11．(多选题)已知平行四边形ABCD，设eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥bB．a＋b＝a
C．a＋b＝bD．|a＋b|＜|a|＋|b|
AC [∵在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝0，eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A、C正确，B、D错误．]
12．在以下各命题中，不正确的命题个数是( )
(1)任一非零向量的方向都是唯一的；
(2)|a|－|b|<|a＋b|；
(3)若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
(4)已知A，B，C为平面上任意三点，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝0.
A．1B．2
C．3D．4
A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]
13．在静水中划船的速度是20 m/min，水流速度是10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．
eq \r(3) [如图，设eq \(AB,\s\up7(→))为水流的速度，eq \(AD,\s\up7(→))为划船的速度，则eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，其中eq \(AC,\s\up7(→))为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝10，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝20，
∴tan ∠ABC＝eq \f(|\(AC,\s\up7(→))|,|\(AB,\s\up7(→))|)＝eq \f(\r(|\(\(BC,\s\up7(→)))|2－|\(\(AB,\s\up7(→)))|2),|\(AB,\s\up7(→))|)
＝eq \f(\r(202－102),10)＝eq \r(3)，
∴tan ∠ADC＝tan ∠ABC＝eq \r(3).]
14．如图所示，△ABC中，eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，且BC＝3，则|eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))|＝________.
2 [∵eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，
∴DE∥BC，且DE＝eq \f(1,3)BC＝1．
如图所示，作eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))，连接DF，
则eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))，
∴|eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))|＝|eq \(BF,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|－|eq \(CF,\s\up7(→))|＝2.]
15．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：2eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)).
[证明] 如图所示，在四边形CDEF中，eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→)).①
在四边形ABFE中，
eq \(EF,\s\up7(→))＋eq \(FB,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→)).②
①＋②得
eq \(EF,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→))＝(eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→)))＋(eq \(ED,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→)))＋(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)))．
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝0，eq \(ED,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→))＝0，
所以2eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)).