高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数课后练习题

课后素养落实(七)　幂函数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数是幂函数的是(　　)

A．y＝5x　　　　 B．y＝x5

C．y＝5x D．y＝(x＋1)3

B　[函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．]

2．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是(　　)

A．奇函数　　　　　 B．偶函数

C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数

A　[设幂函数为f(x)＝xα，又因为图像过点，所以＝，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数 ，因此A正确，B，C，D错误．]

3．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　)

A．y＝x B．y＝x2

C．y＝x3 D．y＝x－2

B　[∵A，C项在(－∞，0)上为增函数；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是增函数，故选B．]

4．如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　)

①　　　　　　　　　②

③　　　　　　　　④

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

B　[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]

5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c B．b＜a＜c

C．c＜a＜b D．b＜c＜a

B　[由于函数y＝在它的定义域R上是减函数，∴a＝>b＝>0.由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B．]

二、填空题

6．已知幂函数f(x)的图像过点(4,2)，则f＝________.

　[设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)．

∵函数f(x)的图像过点(4,2)，∴2＝4α，

∴α＝.

∴f(x)＝x，∴f＝＝.]

7．0.16，0.25，6.25从小到大依次是________．

0.25<6.25<0.16　[∵0.25＝0.5<0.16，0.25＝4<6.25，6.25＝2.5＝0.4<0.16，∴0.25＜6.25＜0.16.]

8．若幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________．

{0,2}　[幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2.则实数m的取值集合为{0,2}．]

三、解答题

9．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)·xm＋1为偶函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若a≤2，判断y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上的单调性并用定义加以证明．

[解]　(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；

当m＝－时，f(x)＝x，不为偶函数，舍去．

所以f(x)＝x2.

(2)由(1)得y＝x2－2ax＋1，对称轴为x＝a≤2，

所以y在区间(2,3)上单调递增．

设x1，x2∈(2,3)，且x1<x2，则有Δx＝x1－x2<0，

所以Δy＝y1－y2＝x－x＋2a(x2－x1)＝(x1－x2)(x1＋x2－2a)＝(x1－x2)(x1－a＋x2－a)，

因为Δx＝x1－x2<0，a≤2，x1－a>0，x2－a>0，所以Δy<0，所以y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上单调递增．

10．已知幂函数y＝f(x)经过点.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

[解]　(1)设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.

(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴该幂函数为奇函数．

当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．

11．(多选题)已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图像中，可能是函数y＝f(x)的图像的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

ABD　[函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数y＝f(x)的图像．故选ABD．]

12．若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是(　　)

A．　　　 B．

C． D．

B　[令f(x)＝x＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得<a<.]

13．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．

(1)则f＝________；

(2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为________．

(1)16　(2)－1或－　[(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3.

当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，∴不满足题意，

∴m＝2舍去；

当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，

∴f(x)＝x－4，

∴f＝＝16.

(2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.]

14.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于__________．

1　[因为BM＝MN＝NA，点A(1,0)，点B(0,1)．

所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，则α＝log，β＝log.

所以α·β＝log·log＝1．]

15．已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：

(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；

(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．

[解]　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1．因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；

当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；

当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].