数学人教A版 (2019)2.4 圆的方程课时练习

2.4.2　圆的一般方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是(　　)

A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

解析当a≠0时,方程为x-2+y+2=,

由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,

∴当a≠0时方程表示圆.

当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.

综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).

答案B

2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x2+y2+4x-2y-5=0 

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0 

D.x2+y2-4x+2y=0

解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.

答案C

3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2 B. C.1 D.

解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.

答案D

4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-4x+6y+8=0 

B.x2+y2-4x+6y-8=0

C.x2+y2-4x-6y=0 

D.x2+y2-4x+6y=0

解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.

答案D

5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是　　　　　,半径是　　　　　. 

解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.

答案(-2,1)　

6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C':x2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程是　　　　　　. 

解析设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0.

设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则点C坐标为-,-,

则解得

所以圆C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.

答案x2+y2-8x+2y-1=0

7.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.

解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

∵A,B,C三点都在圆上,

∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,

把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,

得解得

所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.

8.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.

解∵圆心在直线2x-y-3=0上,

∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),

则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.

把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,

得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①

(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②

由①②可得a=2,r2=10.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,

即x2+y2-4x-2y=5.

关键能力提升练

9.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是(　　)

A.两个点 B.四个点 

C.两条直线 D.四条直线

解析方程(x2-4)2+(y2-4)2=0,

则x2-4=0,且y2-4=0,即

解得

得到4个点.

答案B

10.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,

则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,

解得-2<a<,

又a∈,所以a=0.故方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.

答案B

11.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0] 

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

解析圆x2+y2-4x+2y+a=0,

即(x-2)2+(y+1)2=5-a,

圆心(2,-1),半径r=.

∵圆与x、y轴都有公共点,

∴解得a≤1.

答案A

12.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是(　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-3)2+(y+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+(y-3)2=1

解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,

∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.

∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,

∴圆C的圆心C与(0,1)关于直线x-y-2=0对称,圆C的半径也为1.

设C(m,n),可得

解得

∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.

答案B

13.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　　)

A.关于点(2,0)对称 

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称 

D.关于直线x-y+2=0对称

解析圆x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于,

故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称.故选ABC.

答案ABC

14.(多选题)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值可能为(　　)

A.2 B.0 

C. D.-2

解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,则a=0或a=2.

答案AB

15.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,求圆的一般方程.

解圆心C的坐标为-,-,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以--1=0,即D+E=-2. ①

又r=,所以D2+E2=20. ②

由①②可得又圆心在第二象限,所以所以所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

16.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.

(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;

(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,

所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,

所以x1+x2=,x1x2=.

因为OM⊥ON,

所以x1x2+y1y2=0,

所以+4=0,

所以m=.

学科素养创新练

17.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.

最小覆盖圆满足以下性质:

①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;

②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.

已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.

(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;

(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;

(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.

解(1)由题意,t=-2.由于△ABC为锐角三角形,外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

则解得∴△ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0.

(2)∵DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,

∴DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.

又|OA|=|OC|=2<4,∴点A,C都在圆内.∴四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.

(3)由题意,曲线W为中心对称图形.设曲线W上一点P(x0,y0),则=16.∴|OP|2=,且-2≤y0≤2.

故|OP|2==16-=-2+,∴当时,|OP|max=.

∴曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=.