高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课时练习

课后素养落实(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知非零向量a，b，c分别为平面α，β，γ的法向量，且a∥b，b⊥c，则α与γ的位置关系是(　　)

A．垂直　　　B．平行　　　C．相交　　　D．重合

A　[由已知得a⊥c，故选A．]

2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　　)

A．(1，7，5)　　　　　 B．(1，－7，5)

C．(－1，－7，5)　　  D．(1，－7，－5)

C　[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与、垂直，故选C．]

3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．P(2，3，3)　　　　　  B．P(－2，0，1)

C．P(－4，4，0)　　　　  D．P(3，－3， 4)

A　[由题意知：点P在平面α内⇔⊥n⇔·n＝0，经检验选项A符合题意．]

4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A．(－1，1，1)　　　　  B．(1，－1，1)

C．(1，1，1) D．(1，1，－1)

C　[设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，

则化简得 ∴x＝y＝z．]

5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　)

A．0　　B．1　　C．　　D．3

A　[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，

∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，

故设＝km．

∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．

解得k＝－，y＝z＝．

∴y－z＝0．]

二、填空题

6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．

[答案]　，其中z≠0

7．如图所示，正四棱锥S­ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________．

45°　[∵正四棱锥底面为正方形，

∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，

∴AC⊥平面SBD．

∴为平面SBD的一个法向量．∴〈，〉＝45°．]

8．下列命题：

①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；

②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；

③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；

④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上)．

①④　[对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝，∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；

对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；

对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；

对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，

∴即 则u＋t＝1，④正确．

综上，真命题的序号是①④．]

三、解答题

9．如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．

(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；

(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．

[解]　(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，

∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF＝BC，又BC＝AD，∴EF＝AD，

则由EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，

∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．

(2)∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PCD，

∵DE⊂平面PCD，

∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，

∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，

∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知＝，

∴就是平面PBC的一个法向量．

10．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

[解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，

于是＝，＝(1，，0)．

设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝．

所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．

11．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

B　[∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α．]

12．直线l的方向向量为a，，是平行于平面α内两个不共线向量，下列关系中能推出l∥α的是(　　)

A．a＝ B．a＝k

C．a＝λ＋μ D．以上均不能

D　[A、B、C均表示l∥α或l⊂α．]

13．(多选题)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

BC　[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴与可以作为平面ABC的法向量．]

14．(一题两空)如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________，点S与P距离的最小值是________．

　　[由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．

则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，M，

设P(x，y，0)，则＝，＝，

由·＝0得y＝，

∴点P的轨迹方程为y＝．

根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2＝．

由SP＝知，当x＝0时，点S与P距离的最小，其最小值为．]

15．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．

(1)求证：PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱锥P­ABCD的体积；

(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P­ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义．

[解]　(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB．

又∵·＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD．

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD．

(2)设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，

V＝||·||·sin θ·||＝··＝16．

(3)|(×)·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P­ABCD体积的3倍．

猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积．