高中数学第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步练习题

课后素养落实(二十三)　空间向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基，则(　　)

A．，，共线 B．，共线

C．，共线 D．O、A、B、C四点共面

D　[由，，不能构成一组基知，、、三向量共面，所以一定有O、A、B、C四点共面．]

2．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是(　　)

A．a　　　B．b　　　C．c　　　D．p－2q

C　[因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．

若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基矛盾，故p，q，c不共面．]

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)

A．a－b＋2c B．a－b－2c

C．－a＋b＋c D．a－b＋c

D　[＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c．选D．]

4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是(　　)

A．＝＋＋

B．＝＋2＋3

C．＝＋＋

D．＝＋＋

D　[由＝＋＋，得－＝(－)＋(－)，即＝＋，所以A，B，C，M四点共面．]

5．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．＝－－

B．· ＝－

C．⊥

D．cos〈，〉＝

C　[＝＋＋＝－＋＋－＝－＋＋．故A错；

设＝a，＝b，＝c．则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

则a·b＝a·c＝b·c＝．

因为＝＝c－a，＝－a，所以·＝·(－a)＝a2－a·c＝，故B错；

因为＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)＝0．故⊥．

因为＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

所以cos〈，〉＝＝－，故D错．]

二、填空题

6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x＝________．

　[由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝．]

7．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．

－　[如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－．]

8．在四面体ABCD中，点O是△ABC的重心，可以用，，表示为________．

[答案]　＝

三、解答题

9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3)＋．

[解]　(1)∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b．

(2)∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c．

(3)∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋＝c＋a，

∴＋＝＋＝a＋b＋c．

10．已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c．

(1)用a，b，c表示向量；

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示．

[解]　(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a．

(2)＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)

＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．

11．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)

A．3　　　　B．2　　　　C．　　　　D．1

C　[＝x＋y＋z＝x＋y(＋)＋z＝(x＋y)＋(y＋z) ＋(z＋x)，

又＝＋＋，

所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝．]

12．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是(　　)

A．{x，y，z}　　  B．{x，y，a}

C．{b，c，z}　　　  D．{a，b，x}

D　[如图作平行六面体ABCD­A1B1C1D1，使＝a，＝b，＝c，

则＝x，＝y，＝z，

由平行六面体的性质知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面．

又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面．故选D．]

13．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面

B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb

C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面

D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y

AC　[A正确；B中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．]

14．(一题两空)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1．则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________；表面积是________．

　1＋　[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1­BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A­A1C1D1内，其体积是 ×  ×1×1×1＝，其表面积是2××1×1＋2××1×＝1＋．]

15．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3．

(1)判断P，A，B，C四点是否共面；

(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由．

[解]　(1)假设P，A，B，C四点共面，

则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，

即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．

比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组

 解得与x＋y＋z＝1矛盾，

故P，A，B，C四点不共面．

(2)若，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，

同(1)可证，，，不共面，因此{，，}可以作为空间的一组基，令＝a，＝b，＝c，

由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，得，

所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30．