北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课后练习题

第三章空间向量与立体几何

§4　向量在立体几何中的应用

4.1　直线的方向向量与平面的法向量

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1,2,3) B.(1,3,2) 

C.(2,1,3) D.(3,2,1)

答案A

2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是(　　)

A.(0,-3,1) B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)

答案D

3.若平面α∥β,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是(　　)

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)

B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)

D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

答案D

解析因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.

4.下列各组向量中不平行的是(　　)

A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)

答案D

5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　)

A.x=6,y=15 

B.x=3,y=

C.x=3,y=15 

D.x=6,y=

答案D

解析由题意,有a∥b,则,得x=6,y=.

6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是　　　　　.(填序号) 

①　②　③　④

答案②③

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.

解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).

设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).

∵=(-1,1,0),

=(-1,0,1),

又n为平面ACD1的一个法向量,

∴

∴化简,即

令x=1,得y=z=1.

∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).

8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.

解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).

由BD∥AC,DC∥AB,

可得,

因此

解得

即点D的坐标为(-1,1,2).

等级考提升练

9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为(　　)

A.-1,2 

B.1,-2

C.1,2 

D.-1,-2

答案A

解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),

由c为平面α的法向量,得

解得

10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是(　　)

A. 

B.(1,,1)

C.(1,1,1) 

D.(2,-2,1)

答案A

解析=(1,0,-2),=(-1,1,0).

设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),

则

解得

∴n=(2,2,1).

又n,∴A正确.

11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是(　　)

A.(1,-4,2) 

B.

C. 

D.(0,-1,1)

答案ABC

解析因为=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的一个法向量,则必须满足把选项代入验证,只有选项D不满足,故选ABC.

12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=(　　)

A.(0,-1,3)

B.(0,1,3)

C.(0,-1,-3)

D.(0,1,-3)

答案A

解析设n=(0,y,z),由题意得

解得故n=(0,-1,3).

13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是 (　　)

A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)

B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)

C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

答案ABC

解析DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),∵与平面B1CD不垂直,∴D错误,ABC正确.

14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　　. 

答案x-y+2z+1=0

解析由题意知·n=0,即x-y+2z+1=0.

15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y=　　　　　. 

答案

解析根据题意可知a∥b,故存在实数λ,使a=λb,即(x,2,1)=λ(1,y,3),即解得x+y=+6=.

16.四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.

解∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),

∴=(1,0,0)是平面SAB的法向量.

设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),

则n·=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,

∴y=-.

又n·=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,

∴z=.

∴n=即为平面SCD的法向量.

新情境创新练

17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.

解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

根据题意可设PA=a,DC=b,DD1=c,

则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),

则M.

又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,

即=(ma,mb,nc),

即解得

则点P的坐标为.

所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.