北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量说课课件ppt

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第2课时　平面的法向量及其应用
第三章　4.1　直线的方向向量与平面的法向量
学习目标
1.能用向量语言表述平面.
2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量.
3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.
内容索引
平面的法向量

一
知识梳理
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的_________n叫作平面α的法向量.
方向向量
(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
注意点：
　　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的空间直角坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
∵SA⊥平面ABCD，
以点A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)求平面SAB的一个法向量.
∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB，
延伸探究　本例条件不变，求平面SCD的一个法向量.
设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)，
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1).∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
求平面的法向量的方法与步骤
反思感悟
(2)设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
反思感悟
　　　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
如图，连接PF，CF，CA.因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD.因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
平面的方程

二
知识梳理
设平面α内一点M(x0，y0，z0)，其法向量n＝(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有 ·n＝0，则平面α的方程为______________________________.
A(x－x0)＋B(y－y0)
＋C(z－z0)＝0
　　设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6,3,2).(1)求平面α的方程；
平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0.
又E点在平面α内，
得a＝－2.
反思感悟
求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得.
　　　写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(－1,3,4)垂直的平面α的方程.
由题意知平面α的法向量为n＝(－1,3,4)，则－(x－3)＋3(y－2)＋4(z－1)＝0，则－x＋3y＋4z－7＝0，即x－3y－4z＋7＝0.
平面的法向量的应用

三
　　已知平面α内的两个向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为A.－1,2 B.1，－2C.1,2 D.－1，－2
√
c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).
反思感悟
对于平面α的一个法向量n与平面内任一向量a都垂直，即a·n＝0.
√
同理可排除C，D；
课堂小结
1.知识清单： (1)平面的法向量的定义及求法. (2)平面的方程. (3)法向量的应用.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：不理解平面法向量的作用和不唯一性.
随堂演练

1.若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)
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2.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是
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3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
∵(－2,3，－1)＝－(2，－3,1)＝－n，即向量(－2,3，－1)与平面α的法向量n平行.
√
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故x＋2y－3z＝0.
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是______________.
x＋2y－3z＝0
课时对点练

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1.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是A.(4,2，－2) B.(2,0,4)C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2)
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∵平面α∥平面β，∴平面β的法向量与平面α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)＝(4，－2，－2).∴选项D符合题意.
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∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.故选项B成立，选项A和D显然成立.
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3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为A.(1，－1,1) B.(2，－1,1)C.(－2,1,1) D.(－1,1,1)
√
显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝－2，y＝1.所以n＝(－2,1,1).
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4.已知向量 ＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0
√
可得3x＋4y＋2＝0.
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5.(多选)已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1，2)，则下列点不在α内的是A.Q(2,3,3) B.R(3，－3,4)C.M(－1,2,0) D.N(－2,0,1)
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√
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6.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是
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设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确.
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7.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为______.
－10
因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.
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因为l⊥α，所以e与n平行，则存在实数m使得e＝mn，
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9.在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点.(1)求平面ABC的一个法向量；
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设平面ABC的法向量n＝(a，b，c).
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2).
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因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，所以3x－2y－2z－1＝0.故平面ABC的方程为3x－2y－2z－1＝0.
(2)求平面ABC的方程.
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如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2，
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∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，∴OB1⊥平面PAC.
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11.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交
√
又yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)，
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12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是
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由题意可得P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则x＝2，y＝2，所以n＝(2,2,1).
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13.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是
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∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝0，
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15.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ .平面OCB1的法向量n＝______________________.
(1,0，－1)(答
案不唯一)
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∴AO＝OC＝1，
∵A(0，－1,0)，B(1,0,0)，
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设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量，
故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1，平面OCB1的法向量n＝(1,0，－1).
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所以AP⊥AB，AP⊥AD.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
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(2)求平行四边形ABCD的面积.