高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程课后作业题

课后素养落实(十三)　双曲线及其标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)

A．|PF1|－|PF2|＝±3　 B．|PF1|－|PF2|＝±4

C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4

[答案]　A

2．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)

A．±5　　　B．±3　　　C．5　 　　D．9

B　[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]

3．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)

A．1或21　　B．14或36　　　　C．2　　　　　　D．21

D　[设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D．]

4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　[因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B．]

5．若k∈R，则“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

A　[若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，

∴k<－3或k>3，故k>3是方程表示双曲线的充分不必要条件．]

二、填空题

6．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

[答案]　x2－＝1(x≤－1)

7．已知F1、F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．

16　[由双曲线方程得，2a＝8．

由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8， ①

|QF2|－|QF1|＝2a＝8， ②

①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，

所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]

8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．

－8　[将x2－y2＝16化为标准形式为－＝1，所以a2＝16，2a＝8，

因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．]

三、解答题

9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：－＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明．

[解]　类似的性质如下：

若M，N为双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

其证明过程如下：

设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，

其中－＝1，即n2＝(m2－a2)．

∴kPM＝，kPN＝．又－＝1，即y2＝(x2－a2)，

∴y2－n2＝(x2－m2)．

∴kPM·kPN＝＝．

故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

10．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．

[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，

由 消去y，

整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∴x1＋x2＝．

∵A(3，－1)为MN的中点，

∴＝3，即＝3，解得k＝－．

当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，

∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0．

法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，

∴

两式相减，得＝y－y，

∴＝．

∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．

∴kMN＝＝＝－．

经验证，该直线MN存在．

∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0．

11．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)

A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8

B　[在△PF1F2中，由余弦定理得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2，

则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

则4＋|PF1|·|PF2|＝8，

所以|PF1|·|PF2|＝4．]

12．已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　　)

A．双曲线 B．双曲线左支

C．双曲线右支 D．一条射线

C　[方程－＝2的几何意义是动点P(x，y)到点与的距离之差为2，又因为2<|F1F2|＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．]

13．(多选题)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是(　　)

A．　　B．2　　C．－1　　D．－3

BC　[由双曲线定义得∴－<m<且m≠．故选BC．]

14．(一题两空)设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．

－2　　[设双曲线的另一焦点为F′，则有F′(－2，0)，F(2，0)，连接AF′(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则

|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF′|－2)≥|AF′|－2＝－2；|PB|＋|PF|≥|BF|＝．]

15．由双曲线－＝1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N的坐标．

[解]　　由双曲线方程知a＝3，b＝2，c＝．

如右图，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a．

根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得

|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a． ①

又|NF1|＋|NF2|＝2c． ②

由①②得|NF1|＝＝ a＋c．

∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝ a＋c－c＝a＝3．

故切点N的坐标为(3，0)．

根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(－3，0)．