选择性必修第一册第1章 直线与方程本章综合与测试同步测试题

这是一份选择性必修第一册第1章 直线与方程本章综合与测试同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(一)　直线与方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设直线x＋my＋n＝0的倾斜角为θ，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是(　　)
A．θ B．－θ
C．π－θ D．＋θ
C　[设关于y轴对称的直线的倾斜角为α，则有α＋θ＝π，所以α＝π－θ．故选C．]
2．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0
A　[由已知可得2m－m2－1＝0⇒m＝1⇒k＝1⇒y－1＝－1(x－2)⇒x＋y－3＝0，这就是所求直线方程，故选A．]
3．已知直线MN的斜率为4，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则点M的坐标为(　　)
A．(2，3)　　B．(4，5)　　C．(2，1)　　D．(5，7)
A　[∵点M在直线y＝x＋1上，∴设M(x0，x0＋1)，
则直线MN的斜率k＝＝＝4，解得：x0＝2，∴M的坐标为(2，3)．]
4．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
A　[①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．
②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1．
综上可得m＝1．故选A．]
5．两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋24＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋22＝0
D　[设所求直线方程为3x－2y＋C＝0(C≠－6)，
由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1、l2间的距离，
∴＝，
∵C≠－6，
解得C＝22．
因此，所求直线的方程为3x－2y＋22＝0．]
6．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最小值为(　　)
A．－1　　B．3　　C．7　　D．8
A　[直线AB的斜率为kAB＝＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－4)，
即y＝－2x＋9．
所以，线段AB的方程为y＝－2x＋9(2≤x≤4)，
所以，2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9∈[－1，7]，
因此，2x－y的最小值为－1．]
7．已知P(x1，y1)是直线l1：f(x，y)＝0上一点，Q(x2，y2)是l外一点，则方程f(x，y)＝f(x1，y1)＋f(x2，y2)表示的直线(　　)
A．与l重合 B．与l交于点P
C．过Q与l平行 D．过Q与l相交
C　[由题意可得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)≠0，则方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，即f(x，y)－f(x2，y2)＝0，它与直线l：f(x，y)＝0的一次项系数相等，但常数项不相等，故f(x，y)－f(x2，y2)＝0表示过Q点且与l平行的直线，故选C．]
8．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
C　[当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，l的方程为2x－y－3＝0． 当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，下面结论中正确的是(　　)
A．AB∥CD B．AB⊥AD
C．|AC|＝|BD| D．AC⊥BD
ABCD　[kAB＝＝－，kCD＝＝－．
且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝＝，∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；
∵|AC|＝＝4，
|BD|＝＝4，
∴|AC|＝|BD|．故C正确；
又kAC＝＝，kBD＝＝－4．
∴kAC·kBD＝－1，
∴AC⊥BD，故D正确．]
10．已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的斜率取值可能为(　　)
A．－　　B．－　　C．1　　D．
AB　[因为点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋1)·＞0，即(a＋1)(a＋)＜0，所以－＜a＜－1，易知直线l的斜率k＝a，
即－＜k＜－1，结合选项，故选AB．]
11．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
BC　[对于A，d1＝＝3>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝＝4；对于D，d4＝＝>4，
所以符合条件的有BC．]
12．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
BCD　[根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确，故选BCD．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
3　[的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝＝3．]
14．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
x＋4y－4＝0　[设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
15．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线l的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．
15°或75°　[易求得平行线l1，l2之间的距离为＝． 画示意图(图略)可知，要使直线l被l1，l2截得的线段长为2，必须使直线l与直线l1，l2成30°的夹角．
∵直线l1，l2的倾斜角为45°，∴直线l的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°．]
16．已知点A(－3，1)，点M、N分别是x轴和直线2x＋y－5＝0上的两个动点，则＋的最小值等于________．
　[作点A(－3，1)关于x轴的对称点A′(－3，－1)，则|AM|＋|MN|＝|A′M|＋|MN|，
最小值即为A′(－3，－1)到直线2x＋y－5＝0的距离，

d＝＝，所以|AM|＋|MN|的最小值为．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知△ABC的顶点A(－2，1)，B(4，3)，C(2，－2)，试求：
(1)AB边的中线所在直线的方程；
(2)AC边上的高所在直线的方程．
[解]　(1)线段AB的中点坐标为(1，2)，
所以AB边上的中线所在直线的方程是：＝，即4x＋y－6＝0．
(2)由已知kAC＝＝－，则AC边上高的斜率是，AC边上的高所在直线方程是y－3＝(x－4)，
即4x－3y－7＝0．
18．(本小题满分12分)当k为何值时，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0：
(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合．
[解]　(1)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，
则有3(2k－3)＋k(k＋2)≠0，
解得k≠1且k≠－9．
(2)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0垂直，
则有3k－(k＋2)(2k－3)＝0，
解得k＝．
(3)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0平行，
则有3(2k－3)＋k(k＋2)＝0，
解得k＝1或k＝－9；
当k＝1时，两条直线方程均为x－y＋2＝0，重合，故舍去；
当k＝－9，两条直线分别为3x＋7y－4＝0和9x＋21y－2＝0，平行，符合题意，所以k＝－9．
(4)由(3)可知，k＝1，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0重合．
19．(本小题满分12分)如图，已知点A(4，0)，B(0，2)，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两侧，过A、B作直线l的垂线，分别交l于C、D两点．

(1)当C、D重合时，求直线l的方程；
(2)当＝2时，求线段CD的长度．
[解]　(1)当C、D重合时，AB⊥l，
直线AB的斜率为kAB＝＝－，所以，直线l的斜率为k＝－＝2，
因此，直线l的方程为y＝2x．
(2)设直线l的斜率为k的方程为kx－y＝0，可知k>0，
则＝，＝，
∵＝2，可得＝，解得k＝，
∴＝2，＝1，由勾股定理可得＝＝2，＝＝，因此，＝－＝2－．
20．(本小题满分12分) 已知直线方程为x＋y＋3m＋4＝0，其中m∈R．
(1)当m变化时，求点Q到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
[解]　(1)直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以解得所以直线恒过定点(－1，－2)．
设定点为P(－1，－2)，当m变化时，PQ⊥直线时，
点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即＝2．
(2)由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，
因此可设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，
可得与x轴、y轴的负半轴交于A，B(0，k－2)两点，
∴<0，k－2<0，解得k<0．
∴S△AOB＝|k－2|＝(k－2)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当k＝－2时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋4＝0．
21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程；
(3)求与直线l3的距离为的直线方程．
[解]　(1)由
得
∴M(－2，1)．
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1)．
(2)易知l3经过点P与点N，
∴l3的方程为＝，
即x－3y－1＝0．
(3)设与l3平行的直线为y＝x＋b．
根据两平行线之间的距离公式，
得＝，
解得b＝3或b＝－，
∴与直线l3的距离为的直线方程为y＝x－或y＝x＋3，
即x－3y－11＝0或x－3y＋9＝0．
22．(本小题满分12分) 如图，设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0．点A的坐标为(1，a)．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数)．

(1)求实数k的取值范围；
(2)设a＝1，求△MON面积的最小值；
(3)是否存在实数a，使得＋的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
[解]　(1)直线l的方程为y－a＝k(x－1)，
令x＝0得，y＝a－k，由y＝a－k>0，得k，∴k≤，
由 得 (4k－3＝0时，方程组无解，不合题意)，
由y＝>0，∵k>，∴k>a或k<，
综上k<．即k∈．
(2)由(1)得M(0，1－k)，N，＝1－k，＝，
设直线l2的倾斜角为θ，则tan θ＝，cos θ＝，
∴sin∠MON＝sin＝cos θ＝，
S△OMN＝×(1－k)××＝，
令t＝3－4k，则t>0，k＝，
S△OMN＝＝≥＝．
当且仅当t＝，
即t＝1，k＝时等号成立，
∴S△OMN的最小值是．
(3)假设存在满足题意的a，由(1)＝a－k，＝＝，
∴＋＝＋＝，此式与k值无关，
则＝，a＝2．
所以，存在a＝2，＋的值与k无关．