人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第2课时课后测评

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8.6.2　直线与平面垂直第2课时　直线与平面垂直的性质定理课后·训练提升1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则(　　)A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直答案B2.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(　　)A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l解析若α∥β,则由m⊥α知m⊥β,而n⊥β,所以m∥n,与m,n为异面直线矛盾,所以平面α与平面β相交.由m⊥平面α,m⊥l,且l⊄α,可知l∥α,同理,l∥β,所以l与两平面的交线平行.故选D.答案D3.已知直线l与平面α相交于点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=(　　)A.2 B.1 C. D.解析因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以.因为OA=AB,所以.因为AC=1,所以BD=2.答案A4.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端的距离为　　　　m. 解析如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CD=(m).答案5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是　　　　　. 解析因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案平行6.一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面α所成的角是　　　　　. 解析如图,AB是一条与平面α相交的线段,作出AC⊥α,BD⊥α,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.答案30°7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1.(2)若M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C.证明(1)如图,连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C.又A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.(2)如图,连接AB1,AD1.因为B1C1AD,所以四边形ADC1B1为平行四边形,所以C1D∥AB1.因为MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.又MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1,同理可得A1C⊥AB1.因为AB1∩B1D1=B1,所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.8.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.证明(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FG∥AE,FG=AE.因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因为CD=AE,所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因为FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE,所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF,所以AF⊥BD.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)求证:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离.(1)证明如图,连接BC1,则O为BC1与B1C的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.又AO∩BC1=O,所以B1C⊥平面ABO,又AB⊂平面ABO,所以B1C⊥AB.(2)解因为四边形BB1C1C为菱形,BC=1,∠CBB1=60°,所以△BCB1为正三角形,所以B1C=1,OB=.因为AO⊥平面BB1C1C,所以AO⊥BC1,AO⊥B1C.又O为B1C的中点,AC⊥AB1,所以△AB1C为等腰直角三角形,所以AO=,AC=.所以AB==1.在△ABC中,cos∠ABC=,所以sin∠ABC=,S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=.设三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离为h,则点B1到平面ABC的距离为h.因为,即·AO=·S△ABC·h,所以h=.故三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离为.