高中数学北师大版必修26.1垂直关系的判定课时训练

  课时分层作业(六)　平行关系的判定

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．异面   D．以上都有可能

D　[直线a与直线b的位置关系可能相交、可能平行，也可能异面，故D正确．]

2．使平面α∥平面β的一个条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，aα，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α

D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内两条直线

D　[A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.

]

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．在平面内   D．无法判断

A　[连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接OB(图略)，显然OB∥EF，根据线面平行的判定定理可知，EF∥平面BB1D1D，故选A.]

4．在以下说法中，正确的个数是：

①平面α内有两条直线和平面β平行，则α与β平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

A　[对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．]

5.四面体A­BCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

C　[由题意知，FG∥EH∥BD，BD平面EFGH，FG平面EFGH，所以BD∥平面EFGH，同理，AC∥平面EFGH，共有2条棱与平面EFGH平行．]

二、填空题

6．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．

平行　[∵＝，

∴MN∥BD.

又∵MN平面BDC，BD平面BDC，

∴MN∥平面BDC.]

7．已知平面α、β和直线a，b，c，且a∥b∥c，aα，bβ，cβ，则α与β的关系是________．

相交或平行　[bβ，cβ，aα，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]

8．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)

①④　[①中连接点A与点B，上面的顶点记为C(图略)，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．]

三、解答题

9．如图，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，求证：EF∥平面PAB.

[解]　∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，∵CD∥AB，∴EF∥AB，

∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.

10．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：

(1)AE∥平面PCF；

(2)平面PCF∥平面AEG.

[解]　(1)取PC中点H，分别连接EH，FH.

∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，

∴EH綊DC，AF綊DC，∴EH綊AF，

∴四边形EAFH为平行四边形，∴EA∥FH.

又AE平面PCF，FH平面PCF，

∴AE∥平面PCF.

(2)∵E，G分别为PD，CD的中点，

∴EG∥PC.

又EG平面PCF，PC平面PCF，

∴EG∥平面PCF.

由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E，

∴平面PCF∥平面AEG.

[等级过关练]

1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．异面   D．BC⊂α

A　[在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BCα，DEα，所以BC∥α.]

2．已知直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是(　　)

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，aα，则a∥β

D　[若a∥α，b∥a，则b∥α或bα，故A错误；由面面平行的判定定理知B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或bβ，故C错误．故选D.]

3．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

①②③④　[以ABCD为下底面还原正方体，如图：

则可判定四个命题都是正确的．]

4．三棱锥S­ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．

平行　[如图，取BC中点F，连接SF，AF.

因为G为△ABC的重心，所以A、G、F共线且AG＝2GF.

又因为AE＝2ES，所以EG∥SF.

因为SF平面SBC，EG平面SBC，

所以EG∥平面SBC.]

5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.

[证明]　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，

在▱ABCD中，M是线段AD的中点，

则AM∥BC，且AM＝BC，

因此FG∥AM且FG＝AM，

所以四边形AFGM为平行四边形，

因此GM∥FA.

又FA平面ABFE，GM平面ABFE，

所以GM∥平面ABFE.