高中数学北师大版必修21.2直线的方程当堂检测题

2020-2021学年北师大版必修二  1.2.1直线方程的点斜式 课时作业

一、选择题

1．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是(　　)

A．x＋y＋3＝0　　　　　　　B．x－y＋5＝0

C．x＋y－3＝0  D．x＋y－5＝0

解析：过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为＝－1.所求的直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.

答案：C

2．一直线过点A(0,2)，它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝x＋2

C．y＝x－2  D．y＝x－2

解析：因为直线y＝x的斜率为，所以其倾斜角为30°，

所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝.

直线过点A(0,2)，即直线在y轴上的截距为2.

由斜截式易得直线的方程为y＝x＋2.

另解：所求直线斜率为，过点A(0,2)，则点斜式方程为y－2＝(x－0)，即y＝x＋2.

答案：B

3．已知直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)

A．k>0，b>0  B．k>0，b<0

C．k<0，b>0  D．k<0，b<0

解析：若y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y轴上的截距b<0，选B.

答案：B

4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．故选B.

答案：B

5．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是(　　)

A．5x＋y－2＝0  B．x－5y－16＝0

C．5x－y－8＝0  D．x＋5y＋14＝0

解析：△ABC的高CD与直线AB垂直，

故有直线CD的斜率kCD与直线AB的斜率kAB满足kCD·kAB＝－1，kAB＝＝，所以kCD＝－5.

直线CD过点C(1，－3)，故其直线方程是y＋3＝－5(x－1)

整理得5x＋y－2＝0，选A.

答案：A

6．已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a的值为(　　)

A．±  B．±1

C．1  D．－1

解析：直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，所以a2－2＝－1,2≠2a，解得a＝－1.故选D.

答案：D

7．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，垂足为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为(　　)

A．y＝－4x＋2  B．y＝4x－2

C．y＝－2x＋2  D．y＝－2x－2

解析：∵l1⊥l2，∴－×＝－1，∴m＝10，所以直线l1的方程为y＝－x＋.又点H(1，p)在l1上，∴p＝－×1＋＝－2，即H(1，－2)．又点H(1，－2)在l2上，∴－2＝×1＋，∴n＝－12，∴所求直线的斜率为＝－4，其方程为y＋2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋2，选A.

答案：A

二、填空题

8．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．

解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2，又直线l2过点(－1,1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所以P点坐标为(0,3)．

答案：(0,3)

9．经过点(－4,1)且倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角一半的直线方程为________．

解析：因为直线y＝－x＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝，故所求直线方程为y＝x＋4＋1.

答案：y＝x＋4＋1

10．已知点A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，则过点A且垂直于BC的直线的方程为________．

解析：因为kBC＝＝1，所以所求直线的斜率为－1，又因为直线过点A(1,3)，所以方程为y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4.

答案：y＝－x＋4

11．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，则边AB，AC，BC所在直线的方程分别为________．

解析：AB边的方程为y＝1；因为AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，kAC＝tan 60°＝，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x－＋1，所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)，即y＝－x＋6.

答案：y＝1，y＝x－＋1，y＝－x＋6

12．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为y＝－x－，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于________．

解析：由直线l的倾斜角为135°，得直线l的斜率为－1.

由A(3,2)，B(a，－1)得直线l1的斜率为.

∵直线l与l1垂直，∴×(－1)＝－1，解得a＝0.

又直线l2的斜率为－，l1∥l2，∴－＝1，解得

b＝－2.因此a＋b＝－2.

答案：－2

三、解答题

13．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．

解析：∵直线y＝x的斜率为，

∴它的倾斜角为30°，

∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为.

又直线经过点A(2，－3)，

∴这条直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)．

14．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．

(1)经过点(，－1)；

(2)在y轴上的截距是－5.

解析：因为直线y＝－x＋1的斜率k＝－，

所以其倾斜角α＝120°.

由题意得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，

故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.

(1)因为所求直线经过点(，－1)，斜率为，

所以所求直线方程是y＋1＝(x－)，

即x－3y－6＝0.

(2)因为所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，

所以所求直线的方程为y＝x－5，

即x－3y－15＝0.

15.是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l的方程．

解析：假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成面积为5的三角形．

显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＋4＝k(x＋5)．

分别令y＝0，x＝0，

可得直线l与x轴的交点为，

与y轴的交点为(0,5k－4)．

因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，

所以·|5k－4|＝5，

所以·(5k－4)＝±10，

即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，

所以k＝或k＝，

所以直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)．

可化为8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.

16．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程．

解析：设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程：y－2＝(x－1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.

当α′＝90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1.

当α′＝30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝(x－1)，即x－y＋2－1＝0.

综上所述，

所求l′的方程为x＝1或x－y＋2－1＝0.