2022年高考数学一轮复习考点练习30《基本不等式及其应用》(含答案详解)

一轮复习考点练习30《基本不等式及其应用》

一、选择题

1.设正实数a，b满足a＋b=1，则(　　)

A.＋有最大值4        B.有最小值

C.＋有最大值        D.a2＋b2有最小值

2.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy=8，则x＋2y的最小值是(　　)

A.3　       B.4           C.       D.

3.已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y=2，则＋的最小值是(　　)

A.4　       B.3            C.2        D.1

4.已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，则代数式＋的最小值为(　　)

A.24　　    B.25　       C.26        D.27

5. “a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是(　　)

A.[0，2]       B.[－2，0]    C.[－2，＋∞)         D.(－∞，－2]

7.已知x＞0，y＞0，且4x＋y=xy，则x＋y的最小值为(　　)

A.8         B.9      C.12         D.16

8.若a＞b＞1，P=，Q=(lg a＋lg b)，R=lg，则(　　)

A.R＜P＜Q         B.Q＜P＜R     C.P＜Q＜R         D.P＜R＜Q

9.若实数a，b满足＋=，则ab的最小值为(　　)

A.         B.2      C.2         D.4

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=，a＋b=12，则△ABC面积的最大值为(　　)

A.8         B.9         C.16         D.21

11.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4=5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)

A.10         B.15       C.20         D.25

12.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　　)

A.[－2，0)∪(0，4]

B.[－4，0)∪(0，2]

C.[－4，2]

D.[－2，4]

二、填空题

13.已知函数y=x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________.

14.已知a，b∈R，且a－3b＋6=0，则2a＋的最小值为________.

15.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2，a＋=4，则＋的最大值为________.

16.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC的距离分别为m，n，则＋的最小值为________.

0.答案解析

1.答案为：C

解析：由于a>0，b>0，由基本不等式得1=a＋b≥2，当且仅当a=b时，等号成立，

∴≤，答案为：B错误；∵≤，∴ab≤，∴＋==≥4，

因此＋的最小值为4，A错误；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=1－2ab≥1－=，D错误；

(＋)2=a＋b＋2=1＋2≤1＋1=2，所以＋有最大值.故选C.

2.答案为：B

解析：由题意得x＋2y=8－x·2y≥8－2，当且仅当x=2y时，等号成立，

整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，

又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.

3.答案为：D

解析：＋=≥=，当且仅当x=y时取等号.

∵log2x＋log2y=log2(xy)=2，∴xy=4.∴＋≥=1.

4.答案为：B

解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，所以2a＋3b－1=0，

即2a＋3b=1，所以＋=(2a＋3b)=4＋9＋＋≥13＋2=25，

当且仅当=，即a=b=时取等号，所以＋的最小值为25.故选B.

5.答案为：A；

解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，

故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

6.答案为：D；

解析：因为1=2x＋2y≥2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，

当且仅当x=y时取等号，故选D.

7.答案为：B；

解析：由题意可得＋=1，则x＋y=(x＋y)(＋)=5＋＋≥5＋2=9，

当且仅当=，即x=3，y=6时等号成立，故x＋y的最小值为9.

8.答案为：C；

解析：∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，(lg a＋lg b)＞，

即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg=(lg a＋lg b)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.

9.答案为：C；

解析：由＋=知a＞0，b＞0，所以=＋≥2，即ab≥2，

当且仅当，即a=，b=2时取“=”，所以ab的最小值为2.

10.答案为：B；

解析：由三角形的面积公式：S=absin C=ab≤×()2=9，

当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.

11.答案为：C；

解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8，由S8－2S4=5可得S8－S4=S4＋5，

由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)=(S8－S4)2，

综上可得：a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8==S4＋＋10≥2＋10=20，

当且仅当S4=5时等号成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.

12.答案为：D；

解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×[]2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2，4].故选D.

13.答案为：4

解析：∵x＞2，m＞0，∴y=x－2＋＋2≥2＋2=2＋2，

当且仅当x=2＋时取等号，又函数y=x＋(x＞2)的最小值为6，

∴2＋2=6，解得m=4.

14.答案为：.

解析：∵a－3b＋6=0，∴a－3b=－6，∴2a＋=2a＋2－3b≥2=2=2=.

当且仅当2a=2－3b，即a=－3，b=1时，2a＋取得最小值.

15.答案为：4.

解析：由x=loga2，y=logb2，得＋=＋=log2a2＋log2b=log2(a2b).

又4=a＋≥2，所以a2b≤16，故＋=log2(a2b)≤4.

16.答案为：.

解析：如图所示，根据题意，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，

则PE=m，PF=n，

又由AB=AC，∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30°，

则PE=PB，PF=PC，即m=PB，n=PC.

由PB＋PC=BC=4，得m＋n=2，则＋=(＋)·=≥，

即＋的最小值为，此时m=2n.