高中数学北师大版必修4第一章 三角函数4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义教案设计

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

教学目标

1、掌握任意角的正弦、余弦的定义；

2、掌握三角函数值的符号的确定方法.

教学重点、难点

重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值

难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定

学习过程

一、复习引入

初中锐角的三角函数是如何定义的？

锐角的正弦、余弦的定义为 ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.

二、引入新知

1.下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数

当点P(u,v) 就是锐角的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？

下面,我们在直角坐标系中,利用单位圆进一步研究锐角a的正弦函数、余弦函数
    如图，在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于锐角a,使角a

的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点, 则,

2.由上抽象概括出：

任意角的正弦函数、余弦函数定义：

如图，在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角a,使角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合, 它的终边与单位圆交于点P(u，v)，那么：

（1）v叫做角α的正弦函数，记作；

（2）u叫做角α的余弦函数，记作.

    注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合．

(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关．

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，也是这样．

 (4) 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.引进弧度制后，将角与实数一一对应起来，所以

正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数.

3．让学生思考并讨论得出结论：

正弦函数值、余弦函数值的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为正，对于第三、四象限为负；

②余弦值对于第一、四象限为正，对于第二、三象限为负；

 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.

三、典型例题

例1、在直角坐标系的单位圆中,，

(1)画出角；

(2)求出角的正弦函数值、余弦函数的值.

例2、假设角的顶点是直角坐标系的原点，始边与X轴的非负半轴重合，已知角终边上任一点Q(x,y)，求角的正弦函数值、余弦函数值.

解：先考虑角终边不在坐标轴上的情形，如图

设角的终边与单位圆的交点为P(u，v),过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴.显然Rt∆OMP∽ Rt∆ONQ ,

记则.

所以即

因为点P和点Q在同一象限，所以和的符号相同，于是得到

同理得即

因为点P和点Q在同一象限，所以和的符号相同，于是得到

当角终边在坐标轴上时，容易验证上述计算公式仍成立.

(比如验证、、、)

归纳概括：

三角函数定义

1.在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点，则sinα=v, cosα=u.

2.角α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

；.

3.根据相似三角形的知识，对于确定的角α，比值（即三角函数值）不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小.

四、课堂练习

练习1、已知角的终边经过点P(2，-3)，求角的正弦函数值、余弦函数值.

解：因为，所以，于是

；；

变式: 设角的终边过点,其中 ，则    .   

练习2、确定下列各三角函值的符号：
      ⑴ cos230°;⑵ sin(-π/4);  ⑶ sin(-672°);  

五、课堂小结

本节课学习了以下内容：

1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义；

 2．正弦函数值、余弦函数值的符号.

六、作业设计

    习题1—4  A组第1、2、3题

教学反思

 这是一节概念课,理论性较强。虽然学生在初中学习了锐角的正弦、余弦的定义,但由于任意角概念的推广,学生对任意角的正弦、余弦的定义理解并不那么容易了。因此,对于本节课,我做出了以下几点反思:

1、对数学概念的反思—-学会数学思考

   对一名数学教师而言,教学反思首先是数学概念的反思。对于学生来说,学习数学的一个重要目的是学会数学的思想,用数学的眼光去了解世界;对于教师来说,要从“教”的角度去看数学、去挖掘数学不仅能做，能理解，还能够教会学生去做，去理解，去挖掘新的问题，解决新的问题。因此数学教师对数学概念的反思应当从逻辑的，历史的，关系等方面去展开。

2、对课堂细节的反思—-学会关爱、及时鼓励学生

   高中新课程的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现,要及时加以总结,适当给与鼓励,并处理好课堂的偶发事件,及时调整课堂教学,在教学过程中,教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。多提问,根据学生的表现,及时进行鼓励,培养他们的自信心,让热爱数学,学习数学。

3、对学习方法的反思— -渗透数学思想方法,培养综合运用能力

   在平时的教学中,在传授基础知识的同时,要有意识的、恰当的讲解与渗透基础数学思想与方法。从而达到传授知识,培养能力的目的。

   总之,在新课程背景下的数学课堂教学中,要提高课堂教学效率,要提高课堂教学质量,我们就应该多思考、多准备,提高自身的教学智慧,发挥好教师的主导作用。