高中数学北师大版必修41.2向量的概念教学设计

1.2  角的概念的推广（教学设计）

教材分析

将初中学过的教的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同角的集合，这样可以使学生在自己已有经验的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同角.

学情分析

由于学生过去学习角都在[0º, 360º)，在对角的认识上已经形成一定的思维，所以在本节课要将角的概念推广可能会有一定的难度，因此，教学中引入一定的实例，用以说明引入新概念的必要性和实际意义.

教学目标

知识与技能

1.理解并掌握象限角、轴线角的概念.

2.会用集合语言表示终边相同的角.

过程与方法

1.会建立直角坐标系来讨论任意角，能够根据终边判断象限角，掌握所有与α角终边相同的角的表示方法.

2.培养学生的类比思维能力，形象思维能力.

情感、态度与价值观

通过本节课的学生，时学生对角的概念有了新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识的背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度.

重点

理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法及判断.

难点

把终边相同的角的集合用符号语言正确的表示出来.

教学过程

温故知新

【师生互动】

在初中学习了角的有关知识，如何定义角的呢？角的范围是什么？

学生思考,积极回答

学生1：角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角.

角的范围是[0º, 360º)

老师将圆规的一边固定，一边绕着圆规的端点顺时针或逆时针方向转动，学生观察，思考

回答角的另外一种定义

学生2：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的几何图形叫做角.

思考1

将射线OA绕着点O旋转到OB位置，所得角还在[0º, 360º) ？

学生3:角范围不在 [0º, 360º)

设计意图：学生回顾初中所学角的概念，并通过观察圆规的演示，观察思考，初中所学角的概念应该再推广，那么，如何推广？便激起了学生的探究的兴趣。

老师：所以很有必要将角的概念推广

探究新知

一.角的概念的推广

在平面内，一条射线由原来位置OA，绕着它的端点旋转O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α.其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点.

正角、负角、零角的概念

为了区别起见，我们把按照逆时针方向旋转而成的角叫做 正角;按照顺时针方向旋转成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，叫做零角.（如右图示）

此时角被推广到任意角：正角、负角、零角

【师生互动】

思考2

把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？

学生思考并回答

学生3：终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

大家思考，能否给出象限角，轴线角的概念？

学生4：象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

老师追问：大家想想，这位同学的回答，还有谁和他的说法不同的？

学生5：象限角：在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第几象限就是第几象限角.（非常好）

学生6：轴线角：在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角.

设计意图：通过不断地提出问题，学生积极思考，探究并得出结论，让整个课堂动起来，激发学生的学习兴趣，提升了学生解决问题的能力,同时凸显数形结合思想.

老师总结象限角、轴线角的定义

二.象限角和轴线角

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：终边 在坐标轴上的角.

用一用

判定下列角是象限角还是轴线角

(1)150°(2)360°(3)650°(4) －150°.

学生积极思考，并回答.

学生7：解：(1)150°角的终边落在第二象限，是第二象限角；

(2)360°的终边落在坐标轴上，是轴线角；

(3)650°＝360°＋290°，角的终边落在第四象限，是第四象限角.

(4)－150°＝－360°＋210°角的终边落在第三象限，是第三象限角

设计意图：通过例题分析，学生思考并完成，一方面理解象限角和轴线角的定义，另一方面提高学生分析问题，解决问题的能力.

【反思与感悟】

如何判断象限角？学生思考，讨论并回答

学生8：判断象限角的步骤

(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.

  (2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，)，转化为判断角β所属的象限.

【师生互动】

思考3

290°与650°角的终边相同都落在第四象限，是第四象限角，你还能写出与这两个角终边相同的角吗？

学生9：290°－360°=-70°；290°+2×360°=1010°.（非常好）

能写出与60°角的终边相同的角吗？

学生10：60°+360°; 60°+2×360°；60°+3×360°；（非常好）

能写出与α角终边相同的角的集合吗？

学生11：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}

老师点评：大家做的很好，能表示出与任意角终边相同的角的集合吗？

学生思考，讨论并回答.

三.终边相同的角的表示

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，

可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，

即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

设计意图：通过不断的逐步推进式的提出问题，学生在解决问题的同时也在不断地总结，归纳结论，既培养学生归纳问题的能力，又能挖掘学生自身的潜力.

用一用

判断下列角所在的象限，并指出与其在0°～360°范围内终边相同的角

①549°；②－60°；③－503°36′.

学生思考，并完成

学生12：解：① ∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同.

② ∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限角，与300°角终边相同.

③ ∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，

与216°24′角终边相同

设计意图：通过例题分析，学生思考并完成，一方面理解终边相同的角的表示，另一方面提高学生分析问题，解决问题的能力.

反思与感悟 如何求与已知角终边相同的角？

求适合某种条件且与已知角终边相同的角，先求出与已知角终边相同的角的一般形式，

 S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，再依条件回答问题.

四.想一想

这节课学习了什么？(学生思考，总结并回答)

学生13：1.角的概念推广

正角、负角、零角的概念

2.象限角与轴线角

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：终边 在坐标轴上的角.

学生14：3.终边相同角的表示

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，

可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，

五.作 业 课本第七页习题1-2    2、3、4

点评：在本节课的教学中，力求使学生理解任意角、象限角的概念，掌握终边相同的角之间的关系，培养学生的类比推理、形象思维能力，体会数形结合的思想，为今后研究其他的知识做好准备，教学中采用“直观式”教学模式和“诱思探究”教学模式相结合，突出一下几个方面：

1.创设问题，导入新课，充分调动学生的学习积极性，激发学生的探究心理，顺利的引入课题.

2.教学中突出学生的主体地位，通过问题串的形式引导学生积极思考交流，抽象概括得出结论，让学生经历获取知识的过程.

3.突出数形结合的思想，为研究问题方便，把角放在直角坐标系中，利用数形结合的思想探究学习知识，突出直角坐标系的工具作用.