数学北师大版4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义教案

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

教学目标：1利用单位圆探究正弦函数余弦函数的定义域，值域，周期及单调性。

2运用性质解决求对应的问题

3体会类比和数形结合的思想

教学重点：利用正余弦函数的基本性质解题

教学难点；如何从定义中得到正弦余弦函数的性质。

教学设计

一，       复习回顾

1.正弦函数的定义，在直角坐标系中，

作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，

使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，

终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，

我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin α

我们通常表示为y=sinx.

2.研究函数及其性质

定义域，值域，周期，单调性

二，       引入新知

1,定义域

P在圆上运动，当角度变化即x取不同值时，都存在唯一

P点坐标与其对应。故任一角都存在正弦值，所以正弦函数的定义域为全体实数R.

同理，余弦函数的定义域也是全体实数。

2，值域

P在圆上运动，他的纵坐标对应着正弦值，P点纵坐标最大为1，纵坐标最小为-1.

利用几何画板，我们可以得到表一，绘制散点图如下，在表格和图像中可以看出，正弦函数最大值和最小值分别是1，-1.

提问：观察上面的表格和图像，你能找到什么规律吗？

3，周期性

角度为x时，对应P点坐标P（u,v），x经过2π个单位后，回到P点，此时函数值回到原来的y值，

思考：4π，6π是不是他的周期

正弦函数、余弦函数是周期函数，其周期为2kπ(k∈Z，k≠0) ，最小正周期为______.

若无特殊说明，我们所说的“周期”一般是指最小正周期．

4,单调性

正弦函数y＝sin x在区间_______________________上是增加的，在区间_______________________上是减少的。

小组讨论：你能用上面的方法找到余弦函数的单调区间吗？

三，正余弦函数的应用

例一．求 y＝ 的定义域．

练习1.求 y＝ 的定义域．

例2  已知函数y=cosx, x∈[].       

(1)求函数的单调区间.

(2) 求函数的最值.

（3）求函数的值域.

练习2.已知函数y=sinx, x∈[，π].       

(1)求函数的单调区间.

(2) 求函数的最值.

（3）求函数的值域.

四，小结

五，作业

课本练习2,3