新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：3.2　第2课时　利用导数研究函数的极值、最大（小）值

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1.导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值　　　　,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值　　　　,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 
2.导数与函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最大(小)值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　　; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　比较,其中　　　　的一个是最大值,　　　的一个是最小值. 
1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点.
3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)>g(x),即f(x)-g(x)>0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)(2)导数为零的点不一定是极值点.(　　)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(　　)
A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=2
答案 D　解析 由f'(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,当x0;当x∈(1,e]时,f'(x)0,f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)0时,若k为整数,且x+1>(k-x)[f(x)+x+1],求k的最大值.
∵x>0,∴h'(x)=ex-1>0.∴函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)0,所以h(x)在(0,2)上单调递增,此时h(x)在(0,2)上不存在两个不同的实数根.
当k>1时,由h'(x)>0可得x>ln k,由h'(x)0,函数G(x)在(2,+∞)上单调递增,G(2)=3-ln 2>0,所以在(2,+∞)上,G(x)>0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+1>0,所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,则a>2.故实数a的取值范围为(2,+∞).
【例5】 (2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO'的距离a(单位:米)之间满足关系式h1= a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO'的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价 k(单位:万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
(2)以O为原点,MN为x轴,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米; (2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
对点训练5(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为　　　cm.