备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最大(小)值课件PPT

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1.函数的极值与导数
微点拨1.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.有极值的函数一定不是单调函数.微思考对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的_______条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 
提示:必要不充分.极值点是f'(x)=0的根,但f'(x)=0的根不都是极值点,例如f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极值点.
2.函数的最大(小)值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　　　为函数的最小值,　　　　为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则　　　　为函数的最大值,　　　　为函数的最小值. 微点拨极值只能在区间内取得(不包括端点),最大(小)值却可以在端点处取得,有极值的函数不一定有最大(小)值,有最大(小)值的也未必有极值;极值有可能成为最大(小)值,非常数可导函数最大(小)值只要不在端点处取,则必定在极值点处取.
常用结论1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最大(小)值.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最大(小)值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值,则相应的极值一定是函数的最大(小)值.
考向1根据函数图象判断极值例1 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定正确的是(　　)A.当x=c时,f(x)有极小值B.f(x)没有极大值C.当x=b时,f(x)有极大值D.f(a)=0
答案:A　解析:在x=c附近的左侧,f'(x)<0,f(x)单调递减,在x=c附近的右侧,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x=c时,f(x)取得极小值,A正确;从图象上看f'(x)=0有三个解,在a,c中间的一个解记为x0,则在x=x0附近的右侧,f'(x)<0,f(x)单调递减,在x=x0附近的左侧,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x=x0时,f(x)取得极大值,B错误;x=b是y=f'(x)的极大值点,不是f(x)的极大值点,C错误;图形只是说明f'(a)=0,至于f(a)是否为0,无法判断,D错误.
规律方法 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可判断极值.
对点训练1已知函数f(x)的定义域为[-π,2π],其导函数为f'(x),函数y=sin x·f'(x)(x∈[-π,2π])的图象如图所示,则f(x)(　　)A.有极小值f(2),极大值f(π)B.有极大值f(2),极小值f(0)C.有极大值f(2),无极小值D.有极小值f(2),无极大值
答案:D解析:当x∈(0,π)时,sin x>0,当x∈(-π,0)∪(π,2π)时,sin x<0,则由图象可得当x∈(-π,2)时,f'(x)≤0,当x∈(2,2π)时,f'(x)≥0,故函数f(x)在(-π,2)内单调递减,在(2,2π)内单调递增.则函数f(x)在定义域[-π,2π]上,先单调递减后单调递增,有极小值f(2),无极大值.
考向2已知函数求极值例2已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数),求函数f(x)的极值.
①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为R上的增函数,所以函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,即x=ln a,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故函数f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.
规律方法 求函数f(x)极值的一般解题步骤
对点训练2已知函数f(x)=ex(x-1)- eax2,a<0.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间和极值.
解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex(x-1)+ex-eax=x(ex-ea),∵f(0)=e0(0-1)-0=-1,∴切点为(0,-1).又f'(0)=0×(e0-ea)=0,∴曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y+1=0.
(2)令f'(x)=0,即x(ex-ea)=0,解得x1=0,x2=a(a<0).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(0,+∞),单调递减区间为(a,0).
考向3根据极值求参数
规律方法 已知函数极值点或极值求参数的2个要领
对点训练3(2021全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(　　)A.abC.aba2
例4已知函数f(x)=excs x,g(x)=ax.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
解:(1)∵f(x)=excs x,∴f'(x)=ex(cs x-sin x),则f'(0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,f(0)=e0cs 0=1,∴切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.(2)F(x)=g(x)-f(x)=ax-excs x,则F'(x)=a-ex(cs x-sin x),令h(x)=F'(x),h'(x)=-[ex(cs x-sin x)+ex(-sin x-cs x)]=2exsin x,
规律方法 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最大(小)值.[提醒]求函数在无穷区间(或开区间)上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,然后借助图象得到函数的最大(小)值.
对点训练4已知函数f(x)= -1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设m>0,求函数f(x)在区间[m,2m]上的最大值.