2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：选修4-4.2 参数方程

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【知识重温】
一、必记4个知识点
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①________的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt.))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在②________，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称③________.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做④________.
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⑤__________________(t为参数)，则参数t的几何意义是⑥__________________.
3．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为⑦____________α∈[0,2π)．
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为⑧____________θ∈[0,2π)．
二、必明1个易误点
在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价性.
eq \x(考点一) 参数方程与普通方程的互化
[自主练透型]
1．把下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ，,y＝cs2 θ))(θ为参数，θ∈[0,2π))．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
悟·技法
消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
考点二 参数方程的应用[互动讲练型]
[例1] [2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
悟·技法
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数方程为t1，t2.
①弦长l＝|t1－t2|；
②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ,y＝sin θ))(θ为参数)，A(2,0)，P为曲线C上的一个动点．
(1)求动点P对应的参数从eq \f(π,3)变动到eq \f(2π,3)时，线段AP所扫过的图形的面积；
(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 极坐标方程与参数方程的综合问题
[互动讲练型]
[例2] [2020·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cskt，,y＝sinkt))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcs θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
悟·技法
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·惠州市高三调研考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t,y＝3－t))(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2相交于A，B两点，求△OAB的面积．
第二节 参数方程
【知识重温】
①任意一点 ②这条曲线上 ③参数 ④普通方程 ⑤eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α)) ⑥有向线段P0P的数量 ⑦eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcs α，,y＝b＋rsin α)) ⑧eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))
课堂考点突破
考点一
1．解析：(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋eq \f(\r(3),2)t中得y＝5＋eq \f(\r(3),2)(2x－2)．
即它的普通方程为eq \r(3)x－y＋5－eq \r(3)＝0.
(2)因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以x2＋y＝1，
即y＝1－x2.又因为|sin θ|≤1，
所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．
2．解析：圆的半径为eq \f(1,2)，
记圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2θ＝cs2θ，
yP＝eq \f(1,2)sin 2θ＝sin θcs θ，
所以圆的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ，,y＝sin θcs θ))(θ为参数)．
考点二
例1 解析：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当cs α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cs α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2cs α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－eq \f(42cs α＋sin α,1＋3cs2α)，故2cs α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
变式练
1．解析：(1)设θ＝eq \f(π,3)时对应的点为M，θ＝eq \f(2π,3)时对应的点为N，O为坐标原点，
线段AP扫过的图形的面积＝S△AMN＋S弓形＝S△OMN＋S弓形＝S扇形OMN＝eq \f(1,2)×12×eq \f(π,3)＝eq \f(π,6).
(2)设P(cs θ，sin θ)，
∵P为线段AQ的中点，∴Q(2cs θ－2,2sin θ)，
∵Q在曲线C上，曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
∴(2cs θ－2)2＋(2sin θ)2＝1，
∴8cs θ＝7，cs θ＝eq \f(7,8).
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，±\f(\r(15),8))).
考点三
例2 解析：(1)当k＝1时，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs t，,y＝sin t，))消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs4t，,y＝sin4t，))消去参数t得C1的普通方程为eq \r(x)＋eq \r(y)＝1.
C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\r(y)＝1，,4x－16y＋3＝0))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,4).))
故C1与C2的公共点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4))).
变式练
2．解析：(1)消去参数可得C1的普通方程为x＋y－3＝0.
由ρ＝4cs θ，得ρ2＝4ρcs θ，
又ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.
(2)解法一 C2的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心为C2(2,0)，半径r＝2的圆．
圆心C2到直线x＋y－3＝0的距离d1＝eq \f(\r(2),2)，
故|AB|＝2eq \r(r2－d\\al(2,1))＝eq \r(14).
原点O到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(1,2)×eq \r(14)×eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(3\r(7),2).
所以△OAB的面积为eq \f(3\r(7),2).
解法二 设A，B两点的横坐标分别为x1，x2.
联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0,x2＋y2－4x＝0))，消去y得2x2－10x＋9＝0，
所以x1＋x2＝5，x1x2＝eq \f(9,2)，
所以|AB|＝eq \r(1＋－12)|x1－x2|＝eq \r(1＋－12)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(14).
原点O到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(1,2)×eq \r(14)×eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(3\r(7),2).
所以△OAB的面积为eq \f(3\r(7),2).