2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.5 椭圆
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一、必记3个知识点
1.椭圆的定义
2.椭圆的简单几何性质(a2=b2+c2)
3.椭圆中的4个常用结论
(1)设椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P在长轴端点处.
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜边长,a2=b2+c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.
(4)若P为椭圆上任一点,F为其焦点,则a-c≤|PF|≤a+c.
二、必明3个易误点
1.椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|其轨迹为线段F1F2,当2a<|F1F2|不存在轨迹.
2.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0).
3.注意椭圆的范围,在设椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
【小题热身】
一、判断正误
1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(5)eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( )
(6)eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)的焦距相等.( )
二、教材改编
2.已知椭圆eq \f(x2,m-2)+eq \f(y2,10-m)=1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.过点A(3,-2)且与椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)+eq \f(y2,10)=1 B.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,20)=1
C.eq \f(x2,10)+eq \f(y2,15)=1 D.eq \f(x2,20)+eq \f(y2,15)=1
三、易错易混
4.若方程eq \f(x2,5-m)+eq \f(y2,m+3)=1表示椭圆,则m的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-5,3)
C.(-3,1)∪(1,5) D.(-5,1)∪(1,3)
5.已知椭圆eq \f(x2,5)+eq \f(y2,m)=1(m>0)的离心率e=eq \f(\r(10),5),则m的值为________.
四、走进高考
6.[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)+y2=1 B.eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1
C.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1
eq \x(考点一) 椭圆的定义及其标准方程
[自主练透型]
1.[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),F1,F2为其左、右焦点,|F1F2|=2eq \r(2),B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为eq \r(7),则椭圆的长轴长为( )
A.4 B.8
C.eq \f(1+\r(33),2) D.1+eq \r(33)
2.[2021·大同市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中点为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为eq \f(\r(2),2),过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)+eq \f(y2,18)=1 B.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,10)=1
C.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,2)=1 D.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,8)=1
3.[2021·深圳市普通高中高三年级统一考试]已知动点M在以F1,F2为焦点的椭圆x2+eq \f(y2,4)=1上,动点N在以M为圆心,半径长为|MF1|的圆上,则|NF2|的最大值为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
悟·技法
求椭圆标准方程的2种常用方法
考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一:求离心率的值
[例1] [2021·长沙市高三年级统一模拟考试]设椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0<t<b),已知动点P在椭圆上,且点P,E,F2不共线,若△PEF2的周长的最小值为3b,则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),3)
考向二:求离心率的范围
[例2] 已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),P是椭圆上一点,|PF2|=|F1F2|=2c,若∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),π)),则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(1,2)))
悟·技法
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.
(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.
(3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
提醒:在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.
考向三:最值(或范围)问题
[例3] 已知椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,b2)=1(0悟·技法
求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1.[2021·广东省七校联合体考试]已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),焦距为2c,直线l:y=eq \f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为________.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2.[2021·泉州质检]已知椭圆eq \f(x2,m-2)+eq \f(y2,10-m)=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.[2021·安徽合肥检测]已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P,若F2B∥AP,则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
4.[2021·湖南长沙一中月考]已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的一条切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是________.
考点三 直线与椭圆的位置关系[互动讲练型]
[例4] [2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆C:eq \f(x2,25)+eq \f(y2,m2)=1(0
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
悟·技法
1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步:确定直线与椭圆的方程.
第二步:联立直线方程与椭圆方程.
第三步:消元得出关于x(或y)的一元二次方程.
第四步:当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.
2.直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=eq \r(1+k2[x1+x22-4x1x2])
= eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,k2)))[y1+y22-4y1y2])(k为直线斜率).
[变式练]——(着眼于举一反三)
5.[2021·烟台模拟]已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若eq \(AM,\s\up6(→))=2eq \(MB,\s\up6(→)),求直线l的方程.
第五节 椭圆
【知识重温】
①F1,F2 ②|F1F2| ③x轴,y轴 ④坐标原点 ⑤(-a,0) ⑥(a,0) ⑦(0,-b) ⑧(0,b) ⑨(0,-a) ⑩(0,a) ⑪(-b,0) ⑫(b,0) ⑬2a ⑭2b ⑮2c ⑯(0,1) ⑰c2=a2-b2
【小题热身】
1.答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
(5)× (6)√
2.解析:∵焦点在x轴上,∴a2=m-2,b2=10-m,∴c2=a2-b2=m-2-10+m=2m-12=4.∴m=8.
答案:A
3.解析:由题意知c2=5,可设椭圆方程为eq \f(x2,λ+5)+eq \f(y2,λ)=1(λ>0),把点A(3,-2)代入得eq \f(9,λ+5)+eq \f(4,λ)=1,解得λ=10或λ=-2(舍去),故所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)+eq \f(y2,10)=1.
答案:A
4.解析:由方程表示椭圆知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5-m>0,,m+3>0,,5-m≠m+3,))
解得-3
5.解析:若a2=5,b2=m,则c=eq \r(5-m),由eq \f(c,a)=eq \f(\r(10),5),即eq \f(\r(5-m),\r(5))=eq \f(\r(10),5),解得m=3;若a2=m,b2=5,则c=eq \r(m-5).由eq \f(c,a)=eq \f(\r(10),5),即eq \f(\r(m-5),\r(5))=eq \f(\r(10),5),解得m=7.
答案:3或7
6.解析:令|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cs∠BF2F1,即9x2=x2+22-4xcs∠BF2F1 ①,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cs∠AF2F1,即4x2=4x2+22-8xcs∠AF2F1 ②,由①②得x=eq \f(\r(3),2),所以2a=4x=2eq \r(3),a=eq \r(3),b2=a2-c2=2.故椭圆的方程为eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1.故选B.
答案:B
课堂考点突破
考点一
1.解析:由题意可知c=eq \r(2),S△BF1O=eq \f(1,2)bc=eq \f(\r(2),2)b=eq \r(7),b=eq \r(14),所以a=eq \r(b2+c2)=4,所以长轴长为2a=8,故选B.
答案:B
2.解析:设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),由e2=eq \f(c2,a2)=1-eq \f(b2,a2)=eq \f(1,2),得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)+eq \f(y2,8)=1.
答案:D
3.解析:由x2+eq \f(y2,4)=1可知a=2,b=1,c=eq \r(3),不妨令F1(0,eq \r(3)),F2(0,-eq \r(3)),则|MF2|+|MN|≥|NF2|,而|MF1|=|MN|,所以当N,M,F2三点共线时(M在线段NF2上),|NF2|取得最大值,此时|NF2|=|NM|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=2a=4,选B.
答案:B
考点二
例1 解析:如图,连接PF1,EF1,则|EF1|=|EF2|.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a-|PF1|.△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+2a-|PF1|+|EF2|=2a+|EF2|+|PE|-|PF1|≥2a+|EF2|-|EF1|=2a=3b,
∴椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=eq \r(1-\f(4,9))=eq \f(\r(5),3),故选D.
答案:D
例2 解析:根据题意有|PF1|=2a-2c,|PF2|=|F1F2|=2c,则cs∠PF2F1=eq \f(4c2+4c2-2a-2c2,2×4c2)=eq \f(c2-a2+2ac,2c2)=eq \f(1,2)+eq \f(2ac-a2,2c2)=eq \f(1,2)+eq \f(1,e)-eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2,因为∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),π)),所以cs∠PF2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2))),所以-1
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3+\f(2,e)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2>0,\f(1,e)-\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2<0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2-\f(2,e)-3<0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2-\f(2,e)>0))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)-3))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)+1))<0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)-2))\f(1,e)>0))⇒2
例3 解析:由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知eq \f(2b2,a)=3.所以b2=3,即b=eq \r(3).
答案:eq \r(3)
同类练
1.解析:设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x,y),则y=eq \f(\r(2),4)x,由|AB|=2c,可知|OA|=eq \r(x2+y2)=c(O为坐标原点),即eq \r(x2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x))2)=c,解得x=eq \f(2\r(2),3)c,所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c,\f(1,3)c)),把点A坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)=1,又a2=b2+c2,整理得,8e4-18e2+9=0,即(4e2-3)(2e2-3)=0,又0<e<1,所以e=eq \f(\r(3),2).
答案:eq \f(\r(3),2)
变式练
2.解析:∵椭圆eq \f(x2,m-2)+eq \f(y2,10-m)=1的长轴在x轴上,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m-2>0,,10-m>0,,m-2>10-m,))解得6
答案:A
3.解析:如图,由题意知,P为以F1A为直径的圆上一点,所以F1P⊥AP,结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|=|F2B|,所以△BF1F2为等腰直角三角形,所以|OB|=|OF2|,即b=c,所以a2=b2+c2=2c2,即a=eq \r(2)c,所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),2),故选D.
答案:D
4.解析:连接PF2,F2T.因为|PT|=eq \r(|PF2|2-b-c2)(b>c),|PF2|的最小值为a-c,所以|PT|的最小值为eq \r(a-c2-b-c2).依题意,有eq \r(a-c2-b-c2)≥eq \f(\r(3),2)(a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0 ①.又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,所以2e2<1 ②.由①②,得eq \f(3,5)≤e
考点三
[例4] 解析:(1)由题设可得eq \f(\r(25-m2),5)=eq \f(\r(15),4),得m2=eq \f(25,16),所以C的方程为eq \f(x2,25)+eq \f(y2,\f(25,16))=1.
(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-eq \f(1,yQ)(x-5),
所以|BP|=yPeq \r(1+y\\al(2,Q)),|BQ|=eq \r(1+y\\al(2,Q)).
因为|BP|=|BQ|,
所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
由直线BP的方程得yQ=2或8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=eq \r(10),直线P1Q1的方程为y=eq \f(1,3)x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2),故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)=eq \f(5,2).
|P2Q2|=eq \r(130),直线P2Q2的方程为y=eq \f(7,9)x+eq \f(10,3),点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26),故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)=eq \f(5,2).
综上,△APQ的面积为eq \f(5,2).
变式练
5.解析:(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),
因为c=1,eq \f(c,a)=eq \f(1,2),所以a=2,b=eq \r(3),
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,\f(x2,4)+\f(y2,3)=1))得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由eq \(AM,\s\up6(→))=2eq \(MB,\s\up6(→))得x1=-2x2.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1+x2=\f(-8k,3+4k2),,x1·x2=\f(-8,3+4k2),))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x2=\f(-8k,3+4k2),-2x\\al(2,2)=\f(-8,3+4k2))),
消去x2,得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k,3+4k2)))2=eq \f(4,3+4k2).解得k2=eq \f(1,4),k=±eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y=±eq \f(1,2)x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2
M点的
轨迹为
椭圆
①________为椭圆的焦点
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>|F1F2|)
②________为椭圆的焦距
标准方程
eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:③________
对称中心:④________
顶点
A1⑤_____,A2⑥_____
B1⑦_____,B2⑧_____
A1⑨_____,A2⑩_____
B1⑪_____,B2⑫_____
性
质
轴
长轴A1A2的长为⑬________
短轴B1B2的长为⑭________
焦距
|F1F2|=⑮________
离心率
e=eq \f(c,a)∈⑯________
a,b,c
的关系
⑰________
定义法
根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)
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2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:2.8 函数与方程: 这是一份2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:2.8 函数与方程,共7页。学案主要包含了知识重温,小题热身等内容,欢迎下载使用。