2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲　参数方程学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲　参数方程学案，共14页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t）))就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
常用结论
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝eq \f(t1＋t2,2)；
(2)|PM|＝|t0|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
二、习题改编
1．(选修4­4P22例1改编)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3t，,y＝2t2＋1))(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝ ．
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6＝3t，,a＝2t2＋1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝－2，,a＝9.))
答案：9
2．(选修4­4P36例1改编)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4交于A，B两点，求|AB|.
解：将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)t－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)t－3))eq \s\up12(2)＝4，
即t2－4eq \r(2)t＋6＝0，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从而t1＋t2＝4eq \r(2)，t1t2＝6，
则|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝2eq \r(2).
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t）))中的x，y都是参数t的函数．( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段eq \(M0M,\s\up6(→))的数量．( )
(3)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)不注意互化的等价性致误；
(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误．
1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))
(θ为参数)，求曲线C的普通方程．
解：由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1
⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝sin2θ，,y＝－1＋1－2sin2θ))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝sin2θ,y＝－2sin2θ))⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)，曲线C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．
解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，
得t2－(eq \r(3)＋1)t＋1＝0，
所以t1t2＝1，
直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t,y＝1＋\r(3)t))(t为参数)，
可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(1,2)（2t）,y＝1＋\f(\r(3),2)（2t）))，
所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.
参数方程与普通方程的互化(师生共研)
已知曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cs t，,y＝3＋sin t))(t为参数)，曲线C2：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
【解】 曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
曲线C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1，
曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
eq \a\vs4\al()
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cs2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
1．求直线eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝－1－t))(t为参数)与曲线eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝3sin α))(α为参数)的交点个数．
解：将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝－1－t))消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝3sin α))消去参数α得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(\r(2),2)<3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
解：圆的半径为eq \f(1,2)，记圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2θ＝cs2θ，
yP＝eq \f(1,2)sin 2θ＝sin θcs θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ，,y＝sin θcs θ))(θ为参数)．
参数方程的应用(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
【解】 (1)因为－1(2)由(1)可设C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2sin α))(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为eq \f(|2cs α＋2\r(3)sin α＋11|,\r(7))＝eq \f(4cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).当α＝－eq \f(2π,3)时，4cs(α－eq \f(π,3))＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为eq \r(7).
eq \a\vs4\al()
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2，①弦长l＝|t1－t2|；②M0为弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1|·|M0M2|＝|t1t2|.
1．已知曲线C的普通方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1，求曲线C的内接矩形周长的最大值．
解：由曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1，可设曲线C上的动点A(2eq \r(3)cs α，2sin α)，0<α则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2eq \r(3)cs α＋2sin α)＝16sin(α＋eq \f(π,3))，0<α因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝eq \f(π,6)时取得最大值．
2．(2020·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t－1))(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)).
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，
得直线l的普通方程为eq \r(3)x－y－1＝0.
曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ＋\f(\r(2),2)cs θ))，
即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcs θ，所以x2＋y2＝2y＋2x，
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t－2))eq \s\up12(2)＝2，
化简，得t2－(1＋2eq \r(3))t＋3＝0.
可得Δ>0，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.
由根与系数的关系，得t1＋t2＝2eq \r(3)＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．
由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2eq \r(3)＋1.
极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)
(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcs2θ＝sin θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)过原点且倾斜角为α(eq \f(π,6)<α≤eq \f(π,4))的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．
【解】 (1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0，
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcs θ，即ρ＝4cs θ.
由曲线C2的极坐标方程为ρcs2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cs2θ＝ρsin θ，
故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，eq \f(π,6)<α≤eq \f(π,4)，
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cs α，
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝eq \f(sin α,cs2α)，
所以|OA|·|OB|＝4cs α·eq \f(sin α,cs2α)＝4tan α，
因为eq \f(π,6)<α≤eq \f(π,4)，
所以|OA|·|OB|的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，4)).
法二：射线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，eq \f(π,6)<α≤eq \f(π,4))．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcs α＝0.
解得t1＝0，t2＝4cs α.故|OA|＝|t2|＝4cs α.
同理可得|OB|＝eq \f(sin α,cs2α)，
所以|OA|·|OB|＝4cs α·eq \f(sin α,cs2α)＝4tan α，
因为eq \f(π,6)<α≤eq \f(π,4)，
所以|OA|·|OB|的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，4)).
eq \a\vs4\al()
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
(一题多解)(2020·济南市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝1＋\r(3)sin α))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2eq \r(3).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)射线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝1＋\r(3)sin α，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y－1＝\r(3)sin α，))
所以x2＋(y－1)2＝3cs2α＋3sin2α＝3，
所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.
由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2eq \r(3)，可得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ＋\f(1,2)cs θ))＝2eq \r(3)，
所以eq \f(\r(3),2)ρsin θ＋eq \f(1,2)ρcs θ－2eq \r(3)＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－4eq \r(3)＝0.
(2)法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0.
由题意设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，\f(π,6)))，
将θ＝eq \f(π,6)代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0，
所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，
将θ＝eq \f(π,6)代入ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2eq \r(3)，
可得ρ＝4，即ρ2＝4，
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)，
所以射线OP的直角坐标方程为y＝eq \f(\r(3),3)x(x≥0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋（y－1）2＝3，,y＝\f(\r(3),3)x（x≥0），))解得A(eq \r(3)，1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y－4\r(3)＝0,y＝\f(\r(3),3)x（x≥0）))，解得B(2eq \r(3)，2)，
所以|AB|＝eq \r(（2\r(3)－\r(3)）2＋（2－1）2)＝2.
[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
解：(1)当α＝eq \f(π,2)时，直线l的普通方程为x＝－1；
当α≠eq \f(π,2)时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.
由ρ＝2cs θ，得ρ2＝2ρcs θ，
所以x2＋y2＝2x，
即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcs α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcs α＋3＝0.
由Δ＝16cs2α－12＝0，得cs2α＝eq \f(3,4)，
所以cs α＝eq \f(\r(3),2)或cs α＝－eq \f(\r(3),2)，
故直线l的倾斜角α为eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋5cs α，,y＝－4＋5sin α，))(α为参数)．
(1)判断两曲线C和C′的位置关系；
(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋5cs α，,y＝－4＋5sin α))得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；
曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．
因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．
(2)由(1)建立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝100，,（x－3）2＋（y＋4）2＝25，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－8，))可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为eq \f(3,4)，
所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝eq \f(3,4)(x－6)，
即3x－4y－50＝0，
所以极坐标方程为3ρcs θ－4ρsin θ－50＝0.
3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4＋2cs β，,y＝2sin β))(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．
解：(1)由曲线C的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4＋2cs β,y＝2sin β))，得(x－4)2＋y2＝4.
因为β∈[0，π]，所以曲线C的普通方程为(x－4)2＋y2＝4(y≥0)．
因为直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，α为倾斜角)，
所以直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)．
所以直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R.
(2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．
若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．
设P(ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故θ＝eq \f(π,6).
而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2eq \r(3).
所以点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，\f(π,6))).
4．(2020·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(3,5)t，,y＝1＋\f(4,5)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(2,1＋sin2θ)，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4))).
(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.
解：(1)由ρ2＝eq \f(2,1＋sin2θ)得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，①
将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以x＝ρcs θ＝eq \r(2)cseq \f(π,4)＝1，y＝ρsin θ＝eq \r(2)sineq \f(π,4)＝1.
所以点P的直角坐标为(1，1)．
(2)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(3,5)t，,y＝1＋\f(4,5)t))代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，
Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－eq \f(110,41).
依题意，点M对应的参数为eq \f(t1＋t2,2)，
所以|PM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))＝eq \f(55,41).
5．(2020·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7－t，,y＝－2＋t))(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7－t，,y＝－2＋t))消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.
由ρ＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝4sin θ＋4cs θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcs θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2eq \r(2)为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内．
将直线l的参数方程化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7－\f(\r(2),2)t,y＝－2＋\f(\r(2),2)t，))代入圆的直角坐标方程，得t2－9eq \r(2)t＋33＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9eq \r(2)，t1t2＝33，
所以|AB|＝|t2－t1|＝eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq \r(30).
又圆心(2，2)到直线l的距离d＝eq \f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以△ABQ面积的最大值为eq \f(1,2)×eq \r(30)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋2\r(2)))
＝eq \f(5\r(15),2).
6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cs θ.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，求eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)的值．
解：(1)曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t，))(t为参数)，两式相加消去t可得普通方程为x＋y－2＝0.由ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cs θ，可得曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)把曲线C1的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入y2＝4x，得t2＋6eq \r(2)t－6＝0，
设t1，t2是A，B对应的参数，则t1＋t1＝－6eq \r(2)，t1·t2＝－6，
所以eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)＝eq \f(|PA|＋|PB|,|PA|·|PB|)＝eq \f(|t1－t2|,|t1·t2|)＝eq \f(\r(（t1＋t2）2－4t1·t2),|t1·t2|)＝eq \f(\r(96),6)＝eq \f(2\r(6),3).
[综合题组练]
1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数且t>0，α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs β，,y＝1＋sin β))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β为参数，且β∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝1＋cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，曲线C4的极坐标方程为ρcs θ＝1.
(1)求C3与C4的交点到极点的距离；
(2)设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当α在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上变化时，求|OP|＋|OQ|的最大值．
解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ＝1＋cs θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，,ρcs θ＝1))得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝eq \f(1＋\r(5),2)，即交点到极点的距离为eq \f(1＋\r(5),2).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，ρ>0))，
曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，联立C1，C2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
即|OP|＝2sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cs α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
即|OQ|＝1＋cs α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以|OP|＋|OQ|＝1＋2sin α＋cs α＝1＋eq \r(5)sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，
当α＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，|OP|＋|OQ|取得最大值，为1＋eq \r(5).
2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y＝4，曲线C2：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs α,y＝\r(3)sin α))(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C2上的点经过坐标变换eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x＋1，,y′＝\f(\r(3),3)y，))得到曲线C3，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线C1的极坐标方程和曲线C3的极坐标方程；
(2)若射线l：θ＝α(ρ>0)分别交C1与C3于A，B两点，求eq \f(|OB|,|OA|)的取值范围．
解：(1)由C1：x＋y＝4，得直线C1的极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ＝4，
由曲线C2的参数方程得其普通方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x＋1，,y′＝\f(\r(3),3)y))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2（x′－1），,y＝\r(3)y′，))将其代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
可得(x′－1)2＋y′2＝1，
所以曲线C3的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则－eq \f(π,4)<α由题可得ρ1＝eq \f(4,cs α＋sin α)，ρ2＝2cs α，
所以eq \f(|OB|,|OA|)＝eq \f(ρ2,ρ1)＝eq \f(1,4)×2cs α(cs α＋sin α)＝eq \f(1,4)(cs 2α＋sin 2α＋1)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋1))，
因为－eq \f(π,4)<α所以－eq \f(\r(2),2)所以0所以eq \f(|OB|,|OA|)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)（\r(2)＋1）)).
名称
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝k(x－x0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α,y＝y0＋tsin α))
(t为参数)
圆
(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ,y＝y0＋rsin θ))
(θ为参数且0≤θ<2π)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs t,y＝bsin t))
(t为参数且0≤t<2π)
抛物线
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2pt2,y＝2pt))(t为参数)