数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第二课时导学案

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第2课时 函数的最大（小）值
【课程标准】
1、理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2、会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在给定区间上的最值．
【知识要点归纳】
1、函数的最大值与最小值定义
2、函数的最大(小)值的几何意义
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
【经典例题】
(一)图象法求函数的最值
图象法求最值的一般步骤
例1 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
[跟踪训练] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，－1≤x≤0，,x2，0（二）利用单调性求函数的最大（小）值
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
例2 已知f(x)＝eq \f(1,x－1)，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
（三）求二次函数的最值
求二次函数在闭区间[m，n]上的最值：
①确定二次函数的对称轴x＝a；
②根据a③写出最值．
例8（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。
例9 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
例10 （动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
[跟踪训练] （1）已知函数f(x)＝x－2eq \r(x)－3，求函数f(x)的最值．
（2）已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值。
（四）函数最值的应用
例11 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
例12 已知x2－x＋a>0对任意x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))恒成立，求实数a的取值范围．
[跟踪训练] 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
【当堂检测】
一．选择题（共3小题）
1．函数，则的最大值和最小值分别为
A．10，6B．10，8C．8，6D．10，7
2．已知函数，则的最小值为
A．4B．5C．6D．
3．对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为
A．B．C．D．
二．多选题（共1小题）
4．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数有4个单调区间
D．函数有最大值为0，无最小值
三．填空题（共2小题）
5．若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为 ．
6．已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是 ．
四．解答题（共1小题）
7．已知二次函数满足（3），且的最大值为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求在区间，上的最大值．
当堂检测答案
一．选择题（共3小题）
1．函数，则的最大值和最小值分别为
A．10，6B．10，8C．8，6D．10，7
【分析】分段求出的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．
【解答】解：由题意，，，，函数为增函数，
的最大值，最小值分别为10，7；
，，，函数为增函数，
的最大值，最小值分别为8，6；
的最大值，最小值分别为10，6，
故选：．
【点评】本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值．
2．已知函数，则的最小值为
A．4B．5C．6D．
【分析】把已知函数解析式变形，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：，，
，
当且仅当，即时上式等号成立．
的最小值为5．
故选：．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是基础题．
3．对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为
A．B．C．D．
【分析】利用导数判断函数求出其最小值，然后根据定义求解．
【解答】解：，
当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，所以，
根据定义可知，函数的下确界为，
故选：．
【点评】本题考查函数的最值，导数的应用，属于基础题目．
二．多选题（共1小题）
4．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数有4个单调区间
D．函数有最大值为0，无最小值
【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．
【解答】解：由题意可得，，作出函数图象可得，
所以该函数为偶函数，有两个零点，，四个单调区间，当时，函数取得最大值为0，无最小值．
故选：．
【点评】本题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，并通过函数图象求得答案，考查数形结合思想，属于中档题．
三．填空题（共2小题）
5．若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为 ．
【分析】将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数的取值范围．
【解答】解：不等式在区间，上有解，
不等式在区间，上有解，
不等式在区间，上有解，
令，，则，
当时，，单调递减，
不等式在区间，上有解，即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查不等式存在性问题，训练了利用导函数研究原函数单调性与最值，是中档题．
6．已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是 ， ．
【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可知要保证的最小值为（1），需满足，
即，
解得．
故答案为：，
【点评】本题考查函数的最值的应用，二次函数的性质以及基本不等式的应用，是中档题．
四．解答题（共1小题）
7．已知二次函数满足（3），且的最大值为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求在区间，上的最大值．
【分析】（1）设二次函数，由已知列关于，，的方程组，求解，，的值，则函数解析式可求；
（2）把的解析式代入，整理后求出二次函数的对称轴，然后分类求解在区间，上的最大值．
【解答】解：（1）设二次函数，
由（3），且的最大值为，
得，解得．
；
（2），
其对称轴方程为，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
在区间，上的最大值为．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．
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日期：2020/11/19 20:28:24；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.cm；学号：26222372