数学九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程精品课时训练

这是一份数学九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程精品课时训练，文件包含专题2112一元二次方程的应用面积与几何问题重难点培优-2021-2022学年九年级数学上册同步练习原卷版人教版docx、专题2112一元二次方程的应用面积与几何问题重难点培优-2021-2022学年九年级数学上册同步练习解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

专题21.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•开封期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32﹣x）（20﹣x）＝540．
【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：B．
2．（2021•杭州模拟）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
【分析】设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
【解析】设道路的宽为x米，根据题意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
故选：A．
3．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
4．（2019秋•江津区期末）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　）

A．12x（55﹣x）＝375 B．12x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC=55-x2米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解析】设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC=55-x2米，
根据题意可得，12•x•（55﹣x）＝375，
故选：A．
5．（2019秋•诸城市期末）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（　　）

A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
【分析】观察图形可知小长方形的长为（x+40-2x2）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+40-2x2）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
6．（2020秋•泗阳县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可．
【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：C．
7．（2020秋•济阳区期中）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+x22=4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
8．（2019秋•东昌府区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
9．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（　　）

A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x+35＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0
【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．
【解析】依题意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，
即x2+2x﹣35＝0．
故选：A．
10．（2020•秦皇岛一模）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：
①（16﹣2x）（9﹣x）＝120；
②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120；
③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120．
其中正确的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①②③
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解析】设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，
或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•兴隆台区期末）如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是　（13﹣x）（24﹣2x）＝264　．

【分析】设宽为xm，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
【解析】设宽为xm，（13﹣x）（24﹣2x）＝264．
故答案为：（13﹣x）（24﹣2x）＝264．
12．（2020秋•来宾期末）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝　2　m．

【分析】由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】种植花草部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理得：x2﹣46x+88＝0，
解得：x1＝2，x2＝44（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
13．（2020秋•集贤县期末）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：　x2﹣35x+34＝0　．

【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．
【解析】设小道进出口的宽度为xm，
根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x•x＝532，
整理，得：x2﹣35x+34＝0．
故答案为：x2﹣35x+34＝0．
14．（2020•山西）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　2　cm．

【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
【解析】设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
2(x+b)=12a+2x=10ab=24，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
15．（2020秋•滨海县期中）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　1　cm．

【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为62-x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2=92，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x=92时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1．
16．（2020秋•仪征市期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为　（40﹣2x）（30﹣2x）＝600　．

【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
17．（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　2　s．

【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
18．（2019春•任城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．则当t＝　52　时，四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半．

【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-3t，根据四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵∠C＝30°，AB＝5，
∴DF=12CD，CF=32CD，BC=3AB＝53．
∵点E的速度为点D速度的一半，
∴AE=12CD＝DF．
又∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-3t，
依题意，得：AE•BF=12×12AB•BC，
即t•（53-3t）=12×12×5×53，
整理，得：4t2﹣20t+25＝0，
解得：t1＝t2=52．
故答案为：52．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•清江浦区期末）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门．如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少m？

【分析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，根据花圃的面积为45m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，
依题意得：x（23+0.5×2﹣3x）＝45，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，23+0.5×2﹣3x＝15＞10，不合题意，舍去；
当x＝5时，23+0.5×2﹣3x＝9＜10，符合题意．
答：AB的长为5m．
20．（2021春•栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．

【分析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，
依题意得：（64﹣4x）•x＝192，
整理得：x2﹣16x+48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12．
答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m2．
21．（2020秋•盐城期末）2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？

【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，
依题意得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝102，
整理得：3x2﹣32x+29＝0，
解得：x1＝1，x2=293（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
22．（2020秋•同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？

【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解析】设AB＝x米，则BC＝（9+1﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2，
当x＝3时，AD＝4＜5，
当x＝2时，AD＝6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5米，
∴AB的长为3米．
答：AB的长度为3米．
23．（2020春•越城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于82cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？

【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．
【解析】根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
12PB•BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于82cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1=45，t2＝4．
故当t为45或4时，PQ的长度等于82cm．
（3）当0＜t≤8时，
12PB•BQ＝32，即12×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积=12PB•BQ=12×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
12PB•BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
24．（2012秋•武进区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动；
（1）若P，Q两点同时出发，几秒后可使△PQC的面积为8cm2？
（2）若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为1255cm；
（3）△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，此时△PCQ的面积为：12×2x（6﹣x），令该式＝8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）利用CP＝6﹣x，则CQ＝2x，由勾股定理定理可得解；
（3）△ABC的面积的一半等于12×12×AC×BC＝12cm2，令12×2x（6﹣x）＝12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
【解析】P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP＝6﹣x，则CQ＝2x，
（1）△PQC的面积为8cm2，即12（6﹣x）（2x）＝8，
解得x＝2或4，
故2秒或4秒后△PQC的面积为8cm2；

（2）PQ的长度为1255cm．
即（2x）2+（6﹣x）2=1445，
解得x1＝x2＝1.2，
故1.2秒后PQ的长度为1255cm．

（3）由题意得：
S△ABC=12×AC•BC=12×6×8＝24，
即：12×2x×（6﹣x）=12×24，
x2﹣6x+12＝0，
△＝62﹣4×12＝﹣12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．