2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第2课时当堂检测题

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  第二课时　指数函数及其性质的应用[对应学生用书P56][微体验]1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c　　　 B．a<b<cC．a<c<b　 D．b<c<aB　[因为y＝0.5x在R上是减函数，所以0.5<0.5<0.5，即a<b<c.]2．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)A．(－1,1)　 B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)　 D．(－∞，－1)D　[不等式2x＋1<1＝20，因为y＝2x是增函数，所以x＋1<0，即x<－1.]3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)　 B．C．(－∞，1)　 D．B　[函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1>3－2a，所以a>.]4．函数y＝1－x的单调递增区间为(　　)A．(－∞，＋∞)　 B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)　 D．(0,1)A　[y＝1－x＝×2x，∵函数y＝2x在(－∞，＋∞)上为增函数，且＞0，所以函数y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．已知4a＝2a＋2，解不等式a2x＋1>ax－1.解　因为4a＝2a＋2，即22a＝2a＋2，所以2a＝a＋2，故a＝2，则a2x＋1>ax－1⇔22x＋1>2x－1，因为y＝2x是增函数，所以2x＋1>x－1，即x>－2，所以原不等式的解集为(－2，＋∞)．[对应学生用书P56]探究一　利用单调性比较大小　比较下列各组数的大小：(1)0.72.5,0.73；(2)0.3,3－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.解　(1)由于底数0.7＜1，∴指数函数y＝0.7x在(－∞，＋∞)上是减函数．∵2.5＜3，∴0.72.5＞0.73.(2)0.3＝3－0.3.∵底数3＞1，∴指数函数y＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－0.3＜－0.2，∴3－0.3＜3－0.2，即0.3＜3－0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1.∴1.70.3＞0.93.1.[方法总结]　　　　比较幂值大小的三种类型及处理方法　　　　[跟踪训练1]　(1)已知a>b，比较a，b的大小；[来源:学科网ZXXK](2)比较 (0.8)－2与－的大小．解　(1)∵0<<1，∴y＝x是减函数．又∵a>b，∴a<b.(2)先考察函数y＝0.8x.∵0<0.8<1，∴函数y＝0.8x是减函数．又－2<0，∴0.8－2>0.80＝1.再考察函数y＝x.∵>1，∴函数y＝x是增函数．又－<0，∴－<0＝1.综上可知，0.8－2>－.探究二　利用单调性解简单的指数不等式问题　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．解　①当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．[方法总结]解指数不等式问题，需注意三点(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的形式，利用图象求解．[跟踪训练2]　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>，∴x∈.答案　探究三　指数型函数的单调性问题　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域. 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0<u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．[方法总结]函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧当a>1时，y＝ af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝ af(x)与y＝f(x)的单调性相反．提醒：在解决与指数函数有关的问题时，特别注意底数的范围．[跟踪训练3]　已知函数f(x)＝2|2x－m| (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．[来源:学科网ZXXK]答案　(－∞，4][对应学生用书P57]1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解，如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解. 3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1或0<a<1.当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝af(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．课时作业(二十二)　指数函数及其性质的应用[见课时作业(二十二)P164]1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<c　　　 　 B．a<c<bC．b<a<c　 D．b<c<aC　[函数y＝0.6x单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.]2．设a<b<1，则(　　)A．a<b<1　 B．1<a<bC．a>b>0　 D．a<b<0C　[因为a<b<0，所以a>b>0.]3．函数f(x)＝x2－1的单调递增区间为(　　)A．(－∞，0]　 B．[0，＋∞)C．(－1，＋∞)　 D．(－∞，－1)A　[∵f(x)＝x2－1，0<<1，∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．]4．已知函数f(x)＝为奇函数，则f(m)＝(　　)A．　　 B．　　[来源:学_科_网Z_X_X_K]C．　　 D．B　[因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以m＝1，故f(m)＝f(1)＝＝.]5．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有(　　)A．1个　 B．2个　C．3个　 D．4个B　[作y＝x与y＝x的图象．当a＝b＝0时，a＝b＝1；当a<b<0时，可以使a＝b；当a>b>0时，也可以使a＝b. 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.]6．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．解析　方法一：由指数函数的性质可知y＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．方法二：f(x)＝|x－1|＝可画出f(x)的图象求其单调递增区间．答案　(－∞，1]7．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x2在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析　当a＞1时，有a2＝4，a－1＝m，所以a＝2，m＝.此时g(x)＝－x2在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．当0＜a＜1时，有a－1＝4，a2＝m，所以a＝，m＝.检验知符合题意．答案　[来源:学科网ZXXK]8．若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析　由题意得解得4≤a＜8.答案　[4,8)9．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．解　f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.1．已知函数f(x)＝|x|，设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b>c>a　 B．b>a>c　C．c>a>b　 D．a>b>cA　[因为20.3>1>0.32>0，且f(x)＝|x|在(0，＋∞)上是减函数，所以f(20.3)<f(1)<f(0.32)，即b>c>a.][来源:学_科_网Z_X_X_K]2．(多空题)函数y＝－x2＋2x的值域是________，单调递增区间是________．解析　因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以－x2＋2x≥，即函数y＝－x2＋2x的值域是，因为y＝t单调递减，t＝－x2＋2x在(1，＋∞)上单调递减，因此函数y＝－x2＋2x的单调递增区间是(1，＋∞]．答案　　[1，＋∞)3．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是__________．解析　令x＝t，因为方程有正根，所以t∈(0,1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，所以a＝1－(t＋1)2.因为t∈(0,1)，所以a∈(－3,0)．答案　(－3,0)4．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过______ h后才能开车．(精确到1 h)解析　当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由×x≤0.02，可得x≥3.10.故至少要过4 h后才能开车．答案　45．(拓广探索)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)因为f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以②÷①得a2＝4，又a>0，且a≠1，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3×2x.(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝x＋x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，故所求实数m的取值范围是.