高一数学 期末复习试卷（一） 2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学 期末复习试卷（一）（人教A版）

一、单选题

1．若，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（    ）

A． B．－ C． D．－

【答案】D

【解析】∵x为第四象限的角，，于是，故选D．

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，所以

又因为，所以，

故选：D.

3．设集合，，则（    ）

A． B．MN C． D．

【答案】B

【解析】

对于集合M：，k∈Z，

对于集合N：，k∈Z，

∵2k+1是奇数集，k+2是整数集

∴MN

故选：B

4．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

设是关于原点对称函数图象上的点，

则点P关于原点的对称点为在上，

，设，

“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，

于是，化为，

令，下面证明方程有两解，

由于，所以，解得，

∴只要考虑即可，

，在区间上单调递增，

而，，

∴存在使得，

当单调递减，

单调递增，

而，，，

∴函数在区间，分别各有一个零点，

即的“和谐点对”有2个.

故选：B.

5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（    ）

A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨

【答案】C

【解析】

由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C

6．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（    ）

A．7 B．1 C．5 D．

【答案】D

【解析】

∵是一元二次方程的两实根，

∴，

∴．

故选：D

7．下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

对于选项A：的定义域为，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项B：的定义域为，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项C：的定义域为，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；

故选：D.

8．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，

则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，

解得，

所以数的取值范围为，

故选：A

二、多选题

9．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为5 D．的最小值为

【答案】AD

【解析】

对A，因为，所以，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A正确；

对B，因为，所以 ，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B错误；

对C，因为，所以，

所以

，

当且仅当即，时，等号成立，不符合题意，故C错误；

对D，因为，，所以，即，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故D正确.

故选：AD

10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

由（1）对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；

由（2）对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或，则在定义域内是减函数；

对于A：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”；

对于B：由得，所以是奇函数，又在上是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”；

对于C：由得，所以是奇函数；又在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和上都是增函数，故不是“理想函数”；

对于D：，，所以是奇函数；

根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”.

故选：BD.

11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔．E．J．，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】

对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足；
对于C：当时，时，解得或，
当时，时，无解，综上C满足；
对于D：当时，解得，故D满足，
综上，BCD均满足，
故选BCD

12．已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称

C．当时，函数的值域为

D．当函数取得最值时，

【答案】ABD

【解析】

由题意得，

．

因为函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，

所以．因为，

所以函数的最小正周期，故A正确．

将的图象向左平移个单位长度，

得到曲线，

其图象关于y轴对称，故B正确．

当时，，

，即的值域为，

故C错误．

令，解得，

所以当取得最值时，，故D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．=______．

【答案】

【解析】．

14．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．

【答案】4

【解析】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.

15．已知，则关于x的不等式的解集是________．

【答案】

【解析】关于的不等式等价于，

由，得，

所以不等式的解集为.

故答案为：..

16．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________．

【答案】.

【解析】∵当时，的图象与函数的图象关于直线对称，

∴当时，，

∴当时，，又是奇函数，

∴．

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求函数在上的单调区间；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.

【解析】

（1）由题意得

，

因为，所以，

令，解得；

令，解得，

令，得.

所以函数在上的单调递增区间为，，

单调递减区间为.

（2）由（1）知.

因为，所以，

又因为，所以，

所以.

18．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足

（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；

（2）求该商场日收益的最小值（千元）．

【答案】（1）；（2）千元

【解析】（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可

（1）

（2）时，单调递增，最小值在处取到，；

时，单调递减，最小值在时取到，

单调递减，最小值在时取到，则最小值为，

由，可得最小值为．　

答：该商场日收益的最小值为千元．　

19．设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的区间.

（1）判断是否是函数的区间；

（2）若是函数（其中，）的区间，求的取值范围.

【答案】(1)不是；(2).

【解析】

（1）因为，则，故任取，则

，根据题意，区间不是函数的区间.

（2）根据题意，若是函数的区间，则：

存在，使得：，整理得：；

因为，故，即，

解得：.

20．已知函数是奇函数

（1）求的值与函数的定义域；

（2）若对于任意都有，求的取值范围.

【答案】（1），定义域为；（2）.

【解析】

是奇函数，∴，∴

∴，∴，

∴又∴

∴，要使有意义，则，即或，

∴的定义域为.

（2）由得.令

∵，∴

∴，对一切恒成立，

①当时，；

②当时，恒成立；即，∵，

当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为，所以

综上，实数的取值范围为.

21．已知函数

（1）若在上有意义且不单调，求的取值范围．

（2）若非空集合，，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）当时，，

由在上有意义且不单调，可得函数的对称轴在之间，且在上非负，

∴ ，解得；

所以的取值范围为

（2）因为，，故，设为方程的两个根，结合图像可知：

，

由，故有与等解，得且，由得，

所以，

因为，∴，解得或，

又为方程的两个根，即，即，

由韦达定理知：，又，所以

∴，解得，

综上可知：的取值范围为.

22．在函数定义域内的某个区间上，任取两个自变量、，若都有，则称为上的凹函数；若都有，则称为上的凸函数．已知函数．

（1）当时，判断函数在区间上的凹凸性，并证明你的结论；

（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）在区间上为凹函数．证明见解析；（2）或．

【解析】（1）函数在区间上为凹函数．

理由：设、，

，

即有，即在区间上为凹函数．

（2）即为在上恒成立，

由，可得，上式化为，

即为，

即有，

可令，，则上式化为，

可得，

解得，或在上恒成立，

故或，

解得或．