第三章 函数的概念和性质（考点与题型解析）-2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）教案

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考点与题型解读
考点一 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a, b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．
【例1】函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
考点二 函数图象
1．若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
2．若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
【例2】已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式1】函数的一段大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 函数性质及应用
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
注意：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称．
【例3】已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．
【变式2】函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点四 分段函数
1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.
3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.
【例4】若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点五 幂函数的应用
幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，
①图象都通过点(0，0)，(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α>1时，图象是向下凸上升的；0<α<1时，图象是向上凸上升的；
④在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0时，
①图象都通过点(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1，1)后，|α|越大，图象下降的速度越快.
【例5】定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点六 函数的应用
【例6】销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.