第一章 集合与常用逻辑用语（考点与题型解析）-2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）教案

第一章 集合与常用逻辑用语 考点与题型解析

一、本章知识体系

二、考点与题型解读

考点一 集合的基本概念

与集合中的元素有关问题的求解方法

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.

（2）看这些元素满足什么限制条件.

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

【例1】设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是(　　)

A.1   B.3    C.4   D.6

（2）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________. 

【解析】（1）易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是：{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}.

（2）当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；

当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.

【答案】（1）C　（2）3或1

考点二 集合间的关系

集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.

【例2】已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若BA，则实数m等于(　　)

A.3   B.2      C.2或3   D.0或2或3

【答案】D

考点三 集合间基本运算

（1）∅：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题．

提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到．

【例3】已知全集U＝R，A＝{x|3x－7≥8－2x}，B＝{x|x≥m－1}．

（1）求∁UA；

（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．

【解析】（1）因为A＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，

又全集U＝R，所以∁UA＝{x|x＜3}．

（2）因为B＝{x|x≥m－1}，且A⊆B，

所以m－1≤3，所以m≤4，

实数m的取值范围是{m|m≤4}．

【答案】（1）∁UA＝{x|x＜3}（2）m≤4

考点四 集合基本运算注意点

（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

【例4】设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数．

（1）分别求A∩B，A∪(∁UB)；

（2）若B∩C＝C，求a的取值范围．

【解析】（1）因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，

所以∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，

所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，A∪(∁UB)＝{x|x≤3，或x≥4}．

（2）因为B∩C＝C，所以C⊆B，

因为B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，

若C＝∅，则a＋1＜a，无解，所以C≠∅，

所以2＜a，a＋1＜4，所以2＜a＜3.

考点五 集合新定义问题

（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚．

（2）寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质．

【例5】定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素的和为(　　)

A．0　     B．2　

C．3　     D．6

【解析】x的取值分别是1,2，y的取值分别是0,2，则z＝0,2,4，集合A*B 3个元素的和为6.

【答案】D　

考点六 充分条件与必要条件的判定

1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.

2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养.

【例6】已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　)

A．充分不必要条件　   B．必要不充分条件

C．充要条件　    D．既不充分也不必要条件

【解析】∵a＞0且b＞0⇔a＋b＞0且ab＞0，∴“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．

【答案】C

总结：充要条件的常用判断方法

（1）定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.

（2）利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.

考点七 全称量词与存在量词

全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）全称量词命题强调任意性：全称量词命题“∀x∈M, p(x)”强调集合M中任意元素x都具有性质p(x)．因此：

①要证明全称量词命题是真命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；

②要判断全称量词命题是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．

（2）存在量词命题强调存在性：存在量词命题“∃x∈M，p(x)”强调集合M中存在一个元素x具有性质p(x)．因此：

①要判断存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；

②要证明它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立．

【例7】写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；

（2）p：有的三角形的三条边相等；

（3）p：菱形的对角线互相垂直；

（4）p：∃x∈N，x2－2x＋1≤0.

【解析】（1）¬p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．

因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，所以¬p为假命题．

（2）¬p：所有的三角形的三条边不全相等．

显然¬p为假命题，如等边三角形．

（3）¬p：有的菱形的对角线不垂直．显然¬p为假命题．

（4）¬p：∀x∈N，x2－2x＋1＞0.

显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故¬p是假命题．

总结：全称量词命题与存在量词命题问题的关注点

（1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论.

（2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.

     对点练习

1．已知命题P：∀x，y∈（0，3），x+y＜6，则命题P的否定为（    ）

A．∀x，y∈（0，3），x+y≥6 B．∀x，y∉（0，3），x+y≥6

C．∃x0，y0∉（0，3），x0+y0≥6 D．∃x0，y0∈（0，3），x0+y0≥6

【答案】D

【详解】 P：∀x，y∈（0，3），x+y＜6，

,

故选：D

2．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】①若、中各含一个元素时，“互斥子集组”数：个

②若含一个、含两个元素时，“互斥子集组”数:个

③若含一个、含三个元素时，“互斥子集组”数:个

④若、中各含两个元素时，“互斥子集组”数：个.

综上共有“互斥子集组”数50个.

故选:D

3．设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．

4．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】将的解集记为，的解集记为.

由题意是的必要不充分条件可知是的真子集.

，解得或,

,则,

（1）当时，或,

则（等号不能同时成立），解得.

（2）当时，或 ,

则（等号不能同时成立），解得.

由（1）（2）可得或.

故选：.

5．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，集合，，可得，

又由，所以．

故选C．

6．设集合，.

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）；

【详解】，

（1）时，，

∴；

（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，

又且，

∴，解得；

7．己知

（1）若是真命题，求对应的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）为真命题，即，解得

（2）根据（1）知：，

是的必要不充分条件

当时，，故满足，即；

当时，，满足条件；

当时，，故满足，即.

综上所述：

8．设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.

（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；

（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）由不等式，可得，

当时，解得，即p为真时，，

由，可得，解得，即q为真时，，

若都为真时，实数x的取值范围是.

（2）由不等式，可得，

因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，

又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，

设，

因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，

所以实数m的取值范围是.