2021学年5.3 函数的应用教案设计

课程

名称

必修一4.5函数的应用

主备人

课 时

教

学

目

标

1.类比二次函数零点与方程的解的关系，得出一般函数零点与方程的解的关系，感受从特殊到一般、数形结合、函数与方程思想，感受数学知识之间的联系，增强学习数学的兴趣，发展数学抽象素养。

2.在探究活动中，得出函数零点存在定理并辨析其条件，感受数形结合思想，培养直观想象和逻辑推理素养。

3.在利用函数零点存在定理解决方程问题、函数零点问题的过程中，发展数学运算素养

教 学

重 点

难 点

重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用。

难点：函数零点存在定理的导出。

学情

分析

在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图像概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．要让学生学会结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图像穿过x轴的图像特点。

教

学

过

程

师  生  活  动

课 堂 随 笔

（一） 引言

思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

(二) 函数的零点与方程的解的关系

对于一般函数 y=f(x)，我们把使的实数叫做函数的零点．

这样，函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标．所以

方程 f(x)=0有实数解<=>

函数y=f(x)有零点<=>

函数 y=f(x)的图像与x轴有公共点．

由此可知，求方程 f(x)=0的实数解，就是确定函数 y=f(x)的零点．对于不能用公式求解的方程 f(x)=0，我们可以把它与相应的函数 y=f(x)联系起来，利用函数的图像和性质找出零点，从而得到方程的解．

(三) 零点存在定理的导出

探究：对于二次函数 f(x)=-2x-3，观察它的图像，发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图像与x轴有什么关系？在区间[-2，0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系？

可以发现，在零点附近，函数图像是连续不断的，并且“穿过”x轴．函数在端点x=2和x=4的取值异号，即 f(2)f(4)＜0，函数f(x)= -2x-3区间(2，4)内有零点x=3，它是方程-2x-3=0的一个根．同样地，f(-2)f(0)＜0,函数f(x)= -2x-3在(-2，0)内有零点x=-1，它是方程-2x-3=0的另一个根．

一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b) ＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c (a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解．

问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？

师生活动：学生画出反例，教师强调，图像间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图像连续不断．

追问：反之成立吗？即如果函数 y=f(x)在区间(a，b)内存在零点，是否有f(a)f(b)＜0？

师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和 f(a)f(b)＜0是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件．

反馈练习：

1．已知函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么下面正确命题的个数是（）．

①若f(a)f(b)＜0，则存在 c (a，b)，使得f(c)=0;

②若 f(a)f(b)＜0，则 y=f(x)的在(a，b)内有唯一零点；

③若 f(a)f(b)>0，则 y=f(x)的在(a，b)内无零点；

④若 y=f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)＜0

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

答案（A）

2．在下列区间中，方程+4x-3=0的解所在的区间为（）．

（A）(-,0)  （B）(0,)  （C）(,)  （D）(,)  

答案：（C）

教 学

反 思

采用讨论式的教学方式，在讨论过程中培养学生研究问题的习惯，变教师被动的教学为学生主动的学，对培养学生的学习兴趣，提高学生的自学能力都很有帮助。