数学4.2 对数教案

【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A版）

    本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。

课程目标

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；

3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

数学学科素养

    1.数学抽象：对数函数的图像与性质；

    2.逻辑推理：图像平移问题；

    3.数学运算：求函数的定义域与值域；

    4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；

    5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

重点：对数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

 请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本132-133页，思考并完成以下问题

1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？

2. 反函数的概念是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．对数函数的图象及性质

[点睛]　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

2．反函数

指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．

四、典例分析、举一反三

题型一    对数函数的图象

例1  函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.

(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;

(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lox,y=lox,y=lox的图象;

(3)从(2)的图中你发现了什么?

【答案】见解析

【解析】(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.

(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=lox,y=lox,y=lox的图象如图所示.

(3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=lox,y=log5x与y=lox,y=log2x与y=lox的图象分别关于x轴对称.

解题技巧：（对数函数图象的变化规律）

1. 对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.

2.   牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过(1,0),(a,1),.

跟踪训练一

1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.

【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

【解析】先画出函数y=lg x的图象(如图①).

再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).

图①                      图②                   图③                 

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).

由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

题型二   比较对数值的大小

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；

(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

【答案】(1)  log23.4＜log28.5 (2) log0.31.8＞log0.32.7   （3）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.

【解析】(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.

(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.

(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.

解题技巧：（比较对数值大小时常用的4种方法）

(1)同底的利用对数函数的单调性．

(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．

(3) 底数和真数都不同，找中间量．

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

跟踪训练二

1．比较下列各题中两个值的大小：

(1)lg 6，lg 8；　　　　　  (2)log0.56，log0.54；

(3)log2与log2;   (4)log23与log54.

【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）log0.56＜log 0.54（3）log2<log2（4）log23＞log54.

【解析】(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.

(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.

(3)由于log2＝，log2＝.

又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，

∴0＞log2 ＞log2 ，∴＜.

∴log2<log2.

(4)取中间值1，

∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.

题型三   比较对数值的大小

例3 (1)已知loga＞1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．

【答案】(1)； (2) (1，＋∞).  

【解析】(1)由loga＞1得loga＞logaa.

①当a＞1时，有a＜，此时无解．

②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.

∴a的取值范围是.

(2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)

得解得x＞1.

∴x的取值范围是(1，＋∞)．

解题技巧：（常见对数不等式的2种解法）

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.

跟踪训练三

1．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．

【答案】∪(1，＋∞)

【解析】由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.

当a＞1时，y＝logax是增函数，

∴解得a＞，∴a＞1；

当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，

∴解得＜a＜.∴＜a＜.

综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).

题型四   有关对数型函数的值域与最值问题

例4 求下列函数的值域．

(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．

【答案】(1) [2，＋∞)； (2)[－2，＋∞)．

【解析】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.

因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，

所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.

因为u＞0，所以0＜u≤4.

又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，

所以logu≥log4＝－2，

所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．

解题技巧：（对数型函数的值域与最值）

(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．

(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．

跟踪训练四

1．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．

【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.

【解析】y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.

∵f(x)的定义域为[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足

∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.

∴当x＝3时，y取得最大值，为13.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本140页习题4.4

本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.