初中数学苏科版七年级上册2.1 正数与负数知识点教学设计

要点1：认识正数、负数

【要点梳理】

1、定义：像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

2、特征：

（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， 正数前面“+”常省略，但 “-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．

【典型例题】

1、（2021七上·海安期末）若向北走 记作 ，则向南走 ，记作（   ）           

A.      B.      C.      D. 

【答案】 B  

2、（2020七上·徐州月考）在 中.负分数有（   ）           

A. 1个     B. 2个   C. 3个    D. 4个

【答案】 B  

3、（2016七上·启东期中）下列说法中，正确的是（   ）

A. 有理数就是正数和负数的统称     B. 零不是自然数，但是正数
C. 一个有理数不是整数就是分数     D. 正分数、零、负分数统称分数

【答案】 C  

4、下列各组量中，不是具有相反意义的量是（　　）

1. 向南走100米和向北走50米      B.零上10℃和零下2

C.赢了10局和输了5局         D.伸长10厘米和减少3千克

【答案】 D  

5、（2020七上·南通期中）某天上午，出租车司机小王在东西向的公路上接送客人.如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： 

＋15，－4，＋13，－10，－12，＋3，－13，－17

（1）最后一位客人送到目的地时，小王在距出车地点的什么方向？距离是多少？   

（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？   

【答案】 （1）解：根据题意得：＋15，－4，＋13，－10，－12，＋3，－13，－17

  （千米），

则小王在出车地点的西方，距离是25千米；

（2）解：这天下午汽车走的路程为：

  ，

∵汽车耗油量为0.4升/千米，则87×0.4=34.8（升），

答：这天上午汽车共耗油34.8升.

【同步演练】

1、下列说法正确的是（　　）

1. 正数和负数统称为有理数   B.0是最小的自然数  

C.整数就是自然数       D.负数就是有负号的数

【答案】 B  

2、在有理数﹣3，0，  ， ﹣  ， 3.6，﹣2015中，属于非负数的有（　　）

A.4个   B.3个   C.2个   D.1个

【答案】 B  

3、在  ， ﹣2，0，﹣3.4这四个数中，属于负分数的是（　　）

A.   B.-2   C.0   D.-3.4

【答案】 D  

4、在纪念“中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年”知识竞赛中，如果把加10分记为“+10分”，那么扣20分应记为（　　）

A. 10分    B. ﹣20分   C. ﹣10分    D. +20分

【答案】 B  

5、（2020七上·江都月考）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程 单位：厘米 依次为：  +5，-4， ，-8，-7，+14，-6

（1）通过计算说明小虫是否回到起点P；   

（2）如果小虫爬行的速度为0.6厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间．   

【答案】 （1）解：∵+5-4+10-8-7+14-6=4， 

∴没有回到起点P；
（2）解：（5+4+10+8+7+14+6）÷0.6=90（秒）， 

故小虫共爬行了90秒．

要点2：认识有理数、无理数

【要点梳理】

1、有理数：我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．

注意：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．

（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数．

注意：  （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．

　 　 　 （2）目前常见的无理数有两种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，

　 　 　 　 　如：1.313113111……．  　 　 　 　 　 　 　 　 　

3、有理数与无理数的区别

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．

（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．

4、有理数分类

（1）按整数、分数的关系分类：   （2）按正数、负数与0的关系分类：　
　　　                 　　

注意：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

【典型例题】

1、（2018七上·江阴期中）在数：3.14159，1.010010001…，7.56，π，  中，无理数的个数有（   ）           

A.1个     B.2个     C.3个     D.4个

【答案】 B  

2、将﹣1，  ， π，0，﹣  ， ﹣3.1415926，+1按要求分别填入相应的集合中．

（1）负数集合：________，

（2）非负数集合：________，

（3）有理数集合：________．

【答案】 ﹣1，﹣  ， ﹣3.1415926；  ， π，0，+1；﹣1，  ， π，0，﹣  ， ﹣3.1415926，+1  

3、操作题：公元初，中美洲玛雅人使用的一种数字系统与其他计数方式都不相同，它采用二十进位制但只有3个符号，用点“•”划“”、卵形“”来表示我们所使用的自然数，如自然数1～19的表示见下表，另外在任何数的下方加一个卵形，就表示把这个数扩大到它的20倍，如表中20和100的表示．

玛雅符号 表示的自然数是________ 

【答案】 18  

4、观察下列依次排列的一列数．请接着写出后面的几位数．
（1）1，-2，1，-2，1，-2，_____ ，_____ ，_____ ；____ ．
（2）−1，  ，   ，   ， ,  ， _____ ，_____  ， _____ ；_____ ．
（3）-2，4，-6，8，-10，_____ ，_____ ，_____ ；_____ ．

【答案】 1；-2；1；-2；；；；；12；-14；16；-18  

【同步演练】

1、（2018七上·宜兴期中）下列各数中3.14， ，1.060060006…（每两个6之间依次增加一个0），0， ，3.14159是无理数的有（   ）           

A.1个     B.2个      C.3个   D.4个

【答案】 B  

2、关于数“0”有下面几种说法：①不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．其中正确的个数是（　　）

A.4个   B.3个   C.2个   D.1个

【答案】 C  

3、（2020七上·赣榆月考）在下列数 +1，6.7，－15，0， ，－1，25%中，属于整数的有 (   )           

A.2个    B.3个    C.4个     D. 5个

【答案】 C  

4、把下列各数填入它所属的集合内：

5.2，0，  ，   ， +（﹣4），﹣2  ， ﹣（﹣3 ），0.25555…，﹣0.030030003…

（1）分数集合：{________  …}

（2）非负整数集合：{________  …}

（3）有理数集合：{________ …}

【答案】 5.2，  ， ﹣2  ， 0.25555　；0，﹣（﹣3）；5.2，0，  ， +（﹣4），﹣2  ， ﹣（﹣3），0.25555  

要点3：循环小数化分数

【要点梳理】

1．定义：

     如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．

2． 纯循环小数

从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、．．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．

　　例如 ，．

3． 混循环小数

如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、0．3456456…． 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．

　　例如 ，，．

注意：（1）任何一个循环小数都可化为分数．

（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．

【典型例题】

1、把循环小数化成分数是（　　）

A．     B．      C．     D．

【答案】D

2、把下列各数填在相应的大括号里．

﹣2，0.50，3  ， 432，20，0，﹣  ， 0.789，﹣2016，3

整数集合{                     …}

负整数集合{                      …}

正分数集合{                    …}

负分数集合{                    …}．

【答案】 解：整数集合{﹣2，432，20，0，﹣2016，3}

负整数集合{﹣2，﹣2016}

正分数集合{0.50，3  ， 0.789}

负分数集合{﹣}．

3、试验与探究我们知道写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设=x，由=0．7777…，可知，10x-x=7，解方程得x=，于是得=．请仿照上述例题完成下列各题：

（1）请你把无限循环小数写成分数，即=        ．

（2）你能化无限循环小数位分数吗？请仿照上述例子求之．

【解答】

解：（1）设=y，由=0．5555…，可知，10y-y=5，解方程得y=，于是得=．

 （2）设=y，由=0．7373…，可知，100y-y=73，解方程得y=，

于是得=．

【同步演练】

1、化为分数是        ．

【答案】

【课后巩固】

1、（2020七上·宜兴月考）在下列数－ ，＋1，6.7，－14，0， ，－5 ，200% 中，属于整数的有（   ）           

A.2个     B.3个     C.4个      D.5个

【答案】 D  

2、（2020七下·江苏月考）在实数 、 、0、 、3.1415、 、 、 、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（  ）           

A.2个    B.3个     C.4个     D.5个

【答案】 B  

3、下列说法：

①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；

②﹣22既是负数、整数，也是自然数；

③0既不是正数，也不是负数，但是整数；

④0是非负数．

其中正确的有（　　）

A.1个     B.2个     C.3个    D.4个

【答案】 C  

4、在﹣2，  ， 0，﹣  ， ﹣0.7，π，15%中，分数有（　　）

A.2个   B.3个   C.4个   D.5个

【答案】 C  

5、（2020七上·南京期中）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，小明第一跳跳出了3.80米，记作－0.20米，若小明第二跳比第一跳多跳了0.45米，则可记作________米.   

【答案】 ＋0.25  

6、（2020七上·兴化月考）如果运进粮食3吨记作+3吨，那么﹣4吨表示________.   

【答案】 运出粮食4吨  

7、把下列各数填入相应的大括号内：

11，﹣  ， 6.5，﹣8，2  ， 0，1，﹣1，﹣3.14

（1）正数集合{　　　　…}，

（2）负数集合{　　　　…}，

（3）整数集合{　　　　…}，

（4）正整数集合{　　　…}，

（5）负整数集合{　　　…}，

（6）正分数集合{　　　…}，

（7）负分数集合{　　　…}，

（8）有理数集合{　　　…}．

【答案】 解：（1）正数集合{11，6.5，2  ， 1}；

（2）负数集合{﹣  ， ﹣8，﹣1，﹣3.14}；

（3）整数集合{11，﹣8，0，1，﹣1}；

（4）正整数集合{11，1}；

（5）负整数集合{﹣8，﹣1}；

（6）正分数集合{6.5，2}；

（7）负分数集合{﹣  ， ﹣3.14}；

（8）有理数集合{11，﹣  ， 6.5，﹣8，2  ， 0，1，﹣1，﹣3.14}．

8、（2020七上·泰兴期中）某检修车从市政府出发，在东西走向的中兴大道上检修线路.如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，那么一天中八次行驶记录如下（单位：千米）： 

+8，－3，+9，－6，+2，+6，－12，－4.

（1）请你通过计算说明检修车最后是否回到市政府？   

（2）若每千米耗油0.6升，则这一天中该检修车共耗油多少升？   

【答案】 （1）解： 千米， 

所以，检修车最后能回到文化宫；

（2）解： 千米， 

  升，

答：这一天中该检修车共耗油30升.