2020-2021年河南省平顶山市高二（上）1月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省平顶山市高二（上）1月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y=x+1与直线y=−x+1的交点坐标是( )
A.(0, 0)B.(1, 1)C.(0, 1)D.(1, 0)

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(−∞, 0)上单调递减的是( )
A.y=|x|B.y=−x2C.y=lnxD.y=ex

3. 下列关于集合的命题正确的有( )
①很小的整数可以构成集合；
②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x, y)|y=2x2+1}是同一个集合；
③1，2，|−12|，0.5，12这些数组成的集合有5个元素；
④空集是任何集合的子集.
A.0个B.1个C.2个D.3个

4. 函数f(x)=(13)x−x+1的零点所在的一个区间是( )
A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(1, 2)D.(2, 3)

5. 如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为( )

A.16B.8+42C.8+45D.12+45

6. 如果实数x，y满足(x−2)2+y2=2，则yx的范围是( )
A.(−1, 1)B.[−1, 1]
C.(−∞, −1)∪(1, +∞)D.(−∞, −1]∪[1, +∞)

7. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是( )
A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.正方体

8. 在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，其中AB=BC=BB1=2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为( )

A.π3B.π4C.π6D.π2

9. 直线y=x−2被圆x2+y2−4x+2y+1=0所截得的弦长为( )
A.4B.32C.23D.14

10. 已知圆的方程为x2+y2−2x+2y+m=0，则实数m的取值范围是( )
A.m>2B.m≥2C.m<2D.m≤2

11. 若直线3x+4y=0与圆x2+y−12=r2r>0相离，则r的取值范围是( )
A.(0,45)B.(45,+∞)C.(0,35)D.(35,+∞)

12. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y−2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.−53或−35B.−32或−23C.−54或−45D.−43或−34
二、填空题

计算 (12)−5+lg2+lg5=________.

满足42x−1>(12)−x−4 的实数x的取值范围为________．

已知圆C:x2+y2=20，则过点P2,4的圆的切线方程是________.

符号[x]表示不超过x的最大整数，如π=3， −1.08=−2，定义函数x=x−[x]．给出下列四个命题：
①函数{x}的定义域为R，值域是0,1；
②方程x=12有无数个解；
③函数{x}是奇函数；
④函数x是增函数．正确命题的序号是________.
三、解答题

已知集合A={x|1(1)求集合B，(∁RA)∩B；

(2)若A∩C=C，求实数m的取值范围.

已知两条直线l1：x+(1+a)y+a−1=0，l2：ax+2y+6=0.
(1)若 l1//l2 ，求a的值；

(2)若l1⊥l2 ，求a的值.

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明：面PAC⊥面PBC；

(2)若PA=AC=1，AB=2，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时．研究表明：当 20≤x≤220 时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(1)当 0≤x≤220 时，求函数 vx 的表达式：

(2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时） fx=x⋅vx 可以达到最大？并求出最大值.

已知圆C:x2+y2−4x+8y−5=0，直线l:mx−y−2m=0.
(1)证明：直线l与圆C相交；

(2)设l与圆C交于M，N两点，若|MN|=213，求直线l的倾斜角及其方程．

已知两圆C1:x2+y2−2x−6y−1=0，C2:x2+y2−10x−12y+45=0．
(1)判断圆C1和圆C2的关系，并证明；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省平顶山市 某校高二（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
联立两直线的解析式得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即为两直线的交点坐标．
【解答】
解：联立两直线方程得y=x+1，y=−x+1，解得x=0，y=1，
所以直线y=x+1与直线y=−x+1的交点坐标是(0, 1).
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】
解：A中，y=|x|为偶函数，且在(−∞, 0)上单调递减；
B中，y=−x2的图象关于y轴对称，故为偶函数，在(−∞, 0)上单调递增，故排除B；
C中，y=lnx为非奇非偶函数，故排除C；
D中，y=ex为非奇非偶函数，故排除D．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
(1)(3)中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；(2)中注意集合中的元素是什么；(4)中注意x=0或y=0的情况．
【解答】
解：①中很小的整数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；
②中集合{y|y=2x2+1}的元素为实数，
而集合{(x, y)|y=2x2+1}的元素是点；
③由集合元素的互异性可知这些数组成的集合有3个元素；
④空集是任何集合的子集，正确．
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
将选项中各区间两端点值代入f(x)，满足f(a)⋅f(b)<0（a，b为区间两端点）的为所求的答案．
【解答】
解：∵ f(−1)=3+1+1=5>0,
f(0)=1+1=2>0,
f(1)=13−1+1=13>0，
f(2)=19−2+1=−89<0,
∴ f(1)f(2)<0，
∴ 函数的零点在(1, 2)区间上.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
由三视图求表面积（组合型）
【解析】
由三视图先还原几何体，然后计算出几何体的表面积.
【解答】
解：由三视图还原几何体可得三棱锥A−BCD，如图，
则BC=2，CD=2，BD=22，AD=25，AB=25，
S△BCD=12×2×2=2，
S△ADC=12×2×25=25，
S△ABC=12×2×25=25，
△ABD为等腰三角形，高为252−22=32，
S△ABD=12×22×32=6，
则几何体表面积为2+25+25+6=8+45.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
设yx=k，求yx的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案．
【解答】
解：设yx=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．
所以求yx的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线的斜率的范围．
如图所示，
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，
此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值，
易得|OC|=2，|CE|=2，可由勾股定理求得|OE|=2，
于是可得到k=1，即为yx的最大值，
同理，yx的最小值为−1.
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
截面及其作法
简单组合体的结构特征
【解析】
根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征，判断即可．
【解答】
解：A，用一个平面去截一个圆锥时，
轴截面的形状是一个等腰三角形，故A不符合题意；
B，用一个平面去截一个圆柱时，
截面的形状不可能是一个三角形，故B符合题意；
C，用一个平面去截一个三棱锥时，
截面的形状是一个三角形，故C不符合题意；
D，用一个平面去截一个正方体时，
截面的形状可以是一个三角形，故D不符合题意．
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取A1C1的中点F，连接AF，则BD//B1F，从而得∠AB1F或其补角为异面直线AB1与BD所成角，求解即可.
【解答】
解：取A1C1的中点F，连接AF，如图所示，则BD//B1F，
即∠AB1F或其补角为异面直线AB1与BD所成角.
因为AB=BC，D是AC的中点，
所以BD⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，
所以AA1⊥BD.
因为AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面AA1C1C1，
所以BD⊥AF，
所以B1F⊥AF.
因为AB=BC=BB1=2，AB⊥BC，
所以B1F=2，AB1=22，
所以cs∠AB1F=B1FAB1=222=12，
所以∠AB1F=π3.
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆的方程化为标准方程为x−22+y+12=4，
圆心到直线的距离为12=22，
所求弦长为24−222=14.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
由方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需满足D2+E2−4F>0可得答案．
【解答】
解：∵ 方程x2+y2−2x+2y+m=0表示圆，
即(x−1)2+(y+1)2=2−m表示圆，
∴ 2−m>0，
解得m<2.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 直线与圆相离，
∴ 圆心到直线的距离应大于半径，
设圆心到直线的距离为d.
∵ 圆的方程为x2+y−12=r2r>0，
∴ 圆心为(0,1)，半径为r，
∴ d=|3×0+4×1|32+42=45，
∴ 0故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
中点坐标公式
直线的点斜式方程
直线的斜率
【解析】
本题考查直线与圆的方程及位置关系．
【解答】
解：由于反射光线经过点(−2,−3)关于y轴的对称点(2,−3)，
故设反射光线所在直线方程为y+3=k(x−2)，
由直线与圆相切的条件可得|5k+5|1+k2=1，
解得k=−43或−34．
故选D．
二、填空题
【答案】
33
【考点】
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(12)−5+lg2+lg5
=25+lg(2×5)
=32+lg10
=32+1=33.
故答案为：33.
【答案】
(2, +∞)
【考点】
指、对数不等式的解法
【解析】
根据指数函数的定义和性质，把不等式化为2(2x−1)>x+4，求出解集即可．
【解答】
解：不等式42x−1>(12)−x−4可化为
22(2x−1)>2x+4，
即2(2x−1)>x+4，
解得x>2，
所以实数x的取值范围是(2, +∞)．
故答案为：(2, +∞)．
【答案】
x+2y−10=0
【考点】
圆的切线方程
【解析】
根据题意，可得点P在圆上，求出直线CP的斜率后，得到切线的斜率，再求出切线方程．
【解答】
解：∵ 圆C：x2+y2=20，
点P2,4满足22+42=20，
∴ 点P在圆C上，
∴ 直线CP的斜率为k=4−02−0=2，
∴ 切线的斜率为k=−12，
∴ 切线的方程为y−4=−12x−2，
即x+2y−10=0.
故答案为：x+2y−10=0.
【答案】
②
【考点】
函数的值域及其求法
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断.
【解答】
解：①函数x的定义域是R，但是0≤x−x<1，
故函数x的值域为[0,1)，故①错误；
②∵ x=x−x=12，
∴ x=x+12，
∴ x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；
③∵ 函数x的定义域是R，
而−x=−x−−x≠−{x}，−x=−x−−x≠{x}，
∴ 函数x是非奇非偶函数，故③错误；
④函数x在每一个单调区间上是增函数，
但在整个定义域上不是增函数，故④错误．
综上所述，②正确.
故答案为：②．
三、解答题
【答案】
解：(1)由5−x>0，x>0，得0所以B={x|0因为A={x|1所以(∁RA)∩B={x|0(2)因为A∩C=C，所以C⊆A.
分两种情况讨论：
当C=⌀ 时， 2m−1≥m，
解得 m≥1；
当C≠⌀时，2m−1不等式组无解.
综上所述，实数m的取值范围是[1,+∞).
【考点】
交、并、补集的混合运算
函数的定义域及其求法
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由5−x>0，x>0，得0所以B={x|0因为A={x|1所以(∁RA)∩B={x|0(2)因为A∩C=C，所以C⊆A.
分两种情况讨论：
当C=⌀ 时， 2m−1≥m，
解得 m≥1；
当C≠⌀时，2m−1不等式组无解.
综上所述，实数m的取值范围是[1,+∞).
【答案】
解：(1)当a=−1 时，直线 l1 的斜率不存在，直线 l2的斜率为 12,l1 与 l2既不平行，也不垂直；
当a≠−1时，直线l1的斜率为 −11+a，直线 l2 的斜率为−a2，
因为l1//l2，所以−11+a=−a2，解得a=1或a=−2.
当a=1时，直线l1:x+2y=0,l2:x+2y+6=0, l1与l2平行.
当a=−2时，直线l1与l2的方程都是x−y−3=0，此时两直线重合，
故a=1.
(2)因为 l1⊥l2 ，所以(−11+a)×(−a2)=−1，
解得a=−23，经检验a=−23符合题意，
故a=−23.
【考点】
两条直线平行的判定
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
两条直线垂直的判定
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=−1 时，直线 l1 的斜率不存在，直线 l2的斜率为 12,l1 与 l2既不平行，也不垂直；
当a≠−1时，直线l1的斜率为 −11+a，直线 l2 的斜率为−a2，
因为l1//l2，所以−11+a=−a2，解得a=1或a=−2.
当a=1时，直线l1:x+2y=0,l2:x+2y+6=0, l1与l2平行.
当a=−2时，直线l1与l2的方程都是x−y−3=0，此时两直线重合，
故a=1.
(2)因为 l1⊥l2 ，所以(−11+a)×(−a2)=−1，
解得a=−23，经检验a=−23符合题意，
故a=−23.
【答案】
(1)证明：∵ PA垂直于⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在平面，
∴ PA⊥BC.
∵ AB为⊙O的直径，
∴ AC⊥BC.
∵ PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
∴ BC⊥面PAC.
∵ BC⊂面PBC，
∴ 面PAC⊥面PBC．
(2)解：如图，过A作AH⊥PC于H，
∵ 面PAC⊥面PBC，面PAC∩面PBC=PC，
∴ AH⊥面PBC，
∴ ∠ABH为直线AB与平面PBC所成的角．
在Rt△PAC中，PA=AC=1，AH⊥PC，
∴ AH=12PC=22.
在Rt△ABH中，sin∠ABH=AHAB=24，
∴ 直线AB与平面PBC所成角的正弦值为24．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ PA垂直于⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在平面，
∴ PA⊥BC.
∵ AB为⊙O的直径，
∴ AC⊥BC.
∵ PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
∴ BC⊥面PAC.
∵ BC⊂面PBC，
∴ 面PAC⊥面PBC．
(2)解：如图，过A作AH⊥PC于H，
∵ 面PAC⊥面PBC，面PAC∩面PBC=PC，
∴ AH⊥面PBC，
∴ ∠ABH为直线AB与平面PBC所成的角．
在Rt△PAC中，PA=AC=1，AH⊥PC，
∴ AH=12PC=22.
在Rt△ABH中，sin∠ABH=AHAB=24，
∴ 直线AB与平面PBC所成角的正弦值为24．
【答案】
解：(1)由题意，当0≤x≤20 时，vx=100，
当20≤x≤22 时，设 vx=ax+b，
因为 v20=20a+b=100，v220=220a+b=0，
所以a=−12，b=110，
所以vx=100,0≤x≤20,−12x+110,20(2)由(1)知fx=100x,0≤x≤20,−12x2+110x,20当0≤x≤20时，fx的最大值为f20=2000 ，
当20当x=110时，fx的最大值为f110=6050 ，
综上，当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时．
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，当0≤x≤20 时，vx=100，
当20≤x≤22 时，设 vx=ax+b，
因为 v20=20a+b=100，v220=220a+b=0，
所以a=−12，b=110，
所以vx=100,0≤x≤20,−12x+110,20(2)由(1)知fx=100x,0≤x≤20,−12x2+110x,20当0≤x≤20时，fx的最大值为f20=2000 ，
当20当x=110时，fx的最大值为f110=6050 ，
综上，当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时．
【答案】
(1)证明：直线l：mx−y−2m=0，
即mx−2−y=0，
由x−2=0,y=0,
得x=2,y=0.
则直线l过定点2,0．
∵ 22−4×2−5=−9<0，
∴ 点2,0在圆C内部，
∴ 直线l与圆C相交．
(2)解：圆C的标准方程为x−22+y+42=25，
则圆心坐标为C2,−4，半径为5，
且圆心C到直线l的距离为d=|2m−−4−2m|m2+12=4m2+1．
∵ |MN|=252−d2=213，
∴ d=23.
由23=4m2+1，
解得m=±33.
当m=33时，直线l的方程为y=33x−2，倾斜角为30∘；
当m=−33时，直线l的方程为y=−33x−2，倾斜角为150∘.
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
直线的点斜式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：直线l：mx−y−2m=0，
即mx−2−y=0，
由x−2=0,y=0,
得x=2,y=0.
则直线l过定点2,0．
∵ 22−4×2−5=−9<0，
∴ 点2,0在圆C内部，
∴ 直线l与圆C相交．
(2)解：圆C的标准方程为x−22+y+42=25，
则圆心坐标为C2,−4，半径为5，
且圆心C到直线l的距离为d=|2m−−4−2m|m2+12=4m2+1．
∵ |MN|=252−d2=213，
∴ d=23.
由23=4m2+1，
解得m=±33.
当m=33时，直线l的方程为y=33x−2，倾斜角为30∘；
当m=−33时，直线l的方程为y=−33x−2，倾斜角为150∘.
【答案】
(1)证明：圆C1和圆C2相交.理由如下：
∵ 圆C1的标准方程为(x−1)2+(y−3)2=11，
圆心为C1(1, 3)，半径r1=11，
圆C2的标准方程为(x−5)2+(y−6)2=16，
圆心为C2(5, 6)，半径r2=4，
∴ |C1C2|=(5−1)2+(6−3)2=5.
∵ 4−11<|C1C2|=5<4+11，
∴ 圆C1和圆C2相交．
(2)解：两圆C1:x2+y2−2x−6y−1=0，
C2:x2+y2−10x−12y+45=0，两圆相减，
得公共弦所在直线方程为8x+6y−46=0，
即4x+3y−23=0．
∵ 圆心C2(5, 6)到直线4x+3y−23=0的距离为
d=|4×5+3×6−23|16+9=3，
∴ 圆C1，C2的公共弦长
|AB|=2r22−d2=216−9=27．
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
相交弦所在直线的方程
点到直线的距离公式
【解析】
分别求出圆C1和圆C2的圆心和半径，再求出圆心距|C1C2|，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆C1和圆C2相交；
两圆C1和C2，两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程；求出圆心C2(5, 6)到公共弦所在直线的距离，由此能求出圆C1和圆C2的公共弦长．
【解答】
(1)证明：圆C1和圆C2相交.理由如下：
∵ 圆C1的标准方程为(x−1)2+(y−3)2=11，
圆心为C1(1, 3)，半径r1=11，
圆C2的标准方程为(x−5)2+(y−6)2=16，
圆心为C2(5, 6)，半径r2=4，
∴ |C1C2|=(5−1)2+(6−3)2=5.
∵ 4−11<|C1C2|=5<4+11，
∴ 圆C1和圆C2相交．
(2)解：两圆C1:x2+y2−2x−6y−1=0，
C2:x2+y2−10x−12y+45=0，两圆相减，
得公共弦所在直线方程为8x+6y−46=0，
即4x+3y−23=0．
∵ 圆心C2(5, 6)到直线4x+3y−23=0的距离为
d=|4×5+3×6−23|16+9=3，
∴ 圆C1，C2的公共弦长
|AB|=2r22−d2=216−9=27．