2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）7月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）7月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 某电视台为了解新推出的一档综艺节目的观众认可度，从某小区的120人中，用分层抽样的方法抽取30人进行访问．已知这120人中有年轻人60人，中年人40人，老年人20人，则需要抽取的老年人的数量为（ ）
A.5B.6C.10D.12

2. 已知向量a→=m,2m−1，b→=m+1,2．若a→与b→同向，则m=（ ）
A.−12B.1C.−1D.12

3. 从800名同学中，用系统抽样（等距）的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按1∼800进行随机编号，若抽出的第一个号码为3号，则第五个应抽的号码为（ ）
A.83B.123C.163D.203

4. sin8π9sin2π9+cs8π9cs2π9=（ ）
A.32B.12C.−32D.−12

5. 函数y=2cs2x−π3的图象在y轴右侧且距y轴最近的对称轴方程为（ ）
A.x=2π3B.x=π3C.x=π6D.x=π2

6. 已知角α的顶点在原点上，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点3,4，则tanα+π4=（ ）
A.7B.17C.−17D.−7

7. 设样本数据1，3，m，n，9的平均数为5，方差为8，则此样本的中位数为（ ）
A.3B.4C.5D.6

8. 某算法的程序框图如图，则输出的S值为（ ）

A.3B.7C.9D.15

9. 从区间0,1上随机抽取3n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，z1，z2，…，zn，构成n个数组x1,y1,z1，x2,y2,z2，…，xn,yn,zn，其中三个数的平方和小于1的数组共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A.6mnB.3mnC.6nmD.3nm

10. 设函数fx=sinωx+π3在−π2,π2上的图象大致如图，则fx的最小正周期为（ ）

A.2π3B.4π5C.5π6D.8π5

11. 在△ABC中，∠C=3∠B，∠A=2∠B，AT平分∠CAB交BC于点T，若AT→=λAC→+μAB→，则λ2+μ2=（ ）
A.49B.29C.23D.59

12. 函数fx=tanπ2x和gx=1x−2的图象在区间−1,5上交点的横坐标之和为（ ）
A.6B.4C.8D.12
二、填空题

学校进行30秒跳绳测试，某小组8名同学的跳绳个数如下面的茎叶图所示，则该组数据的方差为________.


一个不透明的口袋中装有5个小球，其中有1个红球，2个白球，2个黑球，这些小球除颜色外其他完全相同，从中随机取出2个球，则它们的颜色不相同的概率是________.

在△ABC中，AB=AC=2,BC=23，P为线段BC上的一个动点，则AP→⋅BP→的最小值为________.

设α,β∈0,π，sinαcsβ−csαsinβ=1，则sin2α−β+sin2β−α的取值范围是________.
三、解答题

已知向量a→与b→的夹角为60∘，|a→|=1，|b→|=2.
(1)求|3a→+b→|；

(2)若(a→+λb→)和(a→−2b→)垂直，求实数λ的值．

某公司生产的一款新产品在2021年前5个月的销售情况如下表所示：

(1)利用所给数据求月销售额y（万元）和月份x之间的回归直线方程；

(2)利用(1)中所求的方程预测该公司这款产品上半年的总销售额.
参考公式：回归直线方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯.
参考数据：i=15xiyi=772，i=15xi2=55.

设函数fx=sinx+csx2+2sinπ+xsinx.
(1)求fx的值域，并说明y=fx的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到；

(2)若fα+f−α=62,α∈0,π4，求f3π8−α.

为庆祝中国共产党成立100周年，某校高二年级600名学生参加党史知识竞赛，根据文科生和理科生的人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，将他们的分数按照[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]分组．整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从该校高二学生中随机抽取1人，估计其分数小于80的概率；

(2)已知样本中分数小于50的有4人，估计该校高二学生分数在[50,60)内的人数；

(3)已知样本中有一半文科生的分数不小于80，且样本中分数不小于80的文科生和理科生人数相等，求该校高二年级文科生与理科生的人数之比．

如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，△ABC是一个边长为6的等边三角形，M，N分别是AC，BD的点，AC交BD于O点．

(1)证明：MN→=12AB→+CD→；

(2)设DO→=4ON→，求AC→⋅BD→的值．

已知函数fx=Acsωx+φA>0，1<ω<2，0<φ<π的图象经过点0,1，且一个最高点的坐标为−23,2．
(1)求函数fx的解析式；

(2)设P，Q分别为函数fx的图象在y轴右侧且距y轴最近的最高点和最低点，O为坐标原点，实数m=OP→⋅OQ→，若函数gx=9mcs2x+4ncsx−3在−π6,2π3上的最小值为−8，求实数n的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）7月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
分层抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：∵这120人中，老年人占16，
∴需要抽取的老年人的数量为30×16=5．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：由a→与b→同向可知，2m=2m−1m+1，
解得m=1或m=−12.
当m=1时，二者同向；
当m=−12时，二者反向．
故m=1.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：系统抽样的分段间隔为80020=40，
因此抽取的前5个号码分别为3，43，83，123，163，
即抽取的第五个号码为163．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
无
【解答】
解：利用两角差的余弦公式得，原式=cs8π9−2π9=cs2π3=−12．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：令2x−π3=kπk∈Z，
得x=kπ2+π6k∈Z，
取k=0得x=π6．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正切
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：依题意，tanα=43，
故tanα+π4=tanα+11−tanα=−7．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
无
【解答】
解：依题意，151+3+m+n+9=5，
15−42+−22+m−52+n−52+42=8，
得m+n=12，m−52+n−52=4，
解得m=5，n=7，或m=7，n=5，
因此该样本的中位数为5．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：该程序的运行情况如下：S=0，n=1，
S=1，n=3，
S=3，n=5，
S=7，n=7，达到了循环终止条件，
因此输出的S=7.
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将数组看作空间点的坐标，从区间0,1上随机抽取3n个数构成n个数组，对应的区域是以原点为一个顶点，棱长为1的正方体，体积为1，
若三个数的平方和小于1，
则对应的区域是以原点为球心，半径为1的球的18，
体积为18×4π3=π6，
根据几何概型的概率计算公式有mn=π6，
∴ π=6mn.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设fx的最小正周期为T，
由图可知T>4π15+π2=23π30，故选项A错误；
T4<π2−4π15=7π30，所以T<14π15，故选项D错误；
令4π15×ω+π3=kπk∈Z，得ω=15k−54k∈Z，
令k=1，可得T=4π5.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，由∠C=3∠B，∠A=2∠B，
得∠B=30∘，∠A=60∘，∠C=90∘，
由AT平分∠CAB得∠CAT=30∘，
设CT=m，
则CA=3m，CB=3CA=3m，
因此CT→=13CB→，
于是AT→=AC→+CT→
=AC→+13CB→
=AC→+13AB→−AC→
=23AC→+13AB→，
∴ λ=23，μ=13，
故λ2+μ2=59．
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
正切函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由T=ππ2=2以及正切函数的性质，知y=fx的图象关于点2,0中心对称．
将y=1x的图象向右平移2个单位长度得y=gx的图象，
因此gx=1x−2的图象也关于点2,0中心对称，
所以两函数图象的交点也关于点2,0中心对称．
在同一坐标系中画出两函数的大致图象如图所示，
由于在−1,5上， y=fx和y=gx的图象有四个交点，
且每两个对称点的横坐标之和为4，
因此二者交点的横坐标之和为8.
故选C.
二、填空题
【答案】
17.5
【考点】
茎叶图
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：x¯=18(41+44+45+47+50+51+52+54)=48，
s2=18[(−7)2+(−4)2+(−3)2+(−1)2+22+32+42+62]=17.5.
故答案为：17.5.
【答案】
45
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将红球编号为1，白球编号为2，3，黑球编号为4，5，
则随机取出2球，所有可能的结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，
共10种，其中颜色不同的情况有8种，
故颜色不相同的概率是45.
故答案为：45.
【答案】
−34
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取BC的中点O为坐标原点，OC→,OA→的方向为x,y轴正方向建立平面直角坐标系，
则B−3,0,A0,1．
设Px,0，则−3≤x≤3，
AP→⋅BP→=x,−1⋅x+3,0=x2+3x≥−34，
当x=−32时，等号成立.
故答案为：−34.
【答案】
[−2,−1]
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知sinα−β=1，而α,β∈0,π，
所以α−β=π2，即α=β+π2，
所以sin2α−β+sin2β−α=
sinβ+π+sinβ−π2=−sinβ−csβ=−2sinβ+π4．
由条件知β∈0,π2，
所以β+π4∈π4,3π4，−2sinβ+π4∈−2,−1.
故答案为：[−2,−1].
三、解答题
【答案】
解：(1)|3a→+b→|=3a→+b→2=9|a→|2+6|a→||b→|cs60∘+|b→|2，
将|a→|=1,|b→|=2代入上式，
得|3a→+b→|=9+6×1×2×12+4=19.
(2)因为(a→+λb→)和(a→−2b→)垂直，
所以(a→+λb→)⋅(a→−2b→)=0，
展开可得|a→|2+λ−2|a→||b→|cs60∘−2λ|b→|2=0．
将|a→|=1,|b→|=2代入上式，
得1+λ−2×1×2×12−2λ×4=0，
解得实数λ=−17.
【考点】
向量的模
向量的线性运算性质及几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)|3a→+b→|=3a→+b→2=9|a→|2+6|a→||b→|cs60∘+|b→|2，
将|a→|=1,|b→|=2代入上式，
得|3a→+b→|=9+6×1×2×12+4=19.
(2)因为(a→+λb→)和(a→−2b→)垂直，
所以(a→+λb→)⋅(a→−2b→)=0，
展开可得|a→|2+λ−2|a→||b→|cs60∘−2λ|b→|2=0．
将|a→|=1,|b→|=2代入上式，
得1+λ−2×1×2×12−2λ×4=0，
解得实数λ=−17.
【答案】
解：(1)依题意，x¯=151+2+3+4+5=3，
y¯=1516+25+37+55+75=41.6．
故b=772−5×3×41.655−5×32=14.8，
a=y¯−bx¯=41.6−14.8×3=−2.8，
故月销售额y（万元）和月份x之间的回归直线方程为y=14.8x−2.8.
(2)当x=6时，代入回归方程中得y=86（万元），
因此可预测上半年的总销售额为：
16+25+37+55+75+86=294（万元）.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意，x¯=151+2+3+4+5=3，
y¯=1516+25+37+55+75=41.6．
故b=772−5×3×41.655−5×32=14.8，
a=y¯−bx¯=41.6−14.8×3=−2.8，
故月销售额y（万元）和月份x之间的回归直线方程为y=14.8x−2.8.
(2)当x=6时，代入回归方程中得y=86（万元），
因此可预测上半年的总销售额为：
16+25+37+55+75+86=294（万元）.
【答案】
解：(1)fx=sin2x+cs2x+2sinxcsx−2sin2x
=sin2x+cs2x=2sin2x+π4．
所以fx的值域为−2,2 ．
要得到y=fx的图象，可将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，
纵坐标扩大为原来的2倍，再将得到的图象向左平移π8个单位长度．
(2)fα+f−α=2sin2α+π4+2sin−2α+π4
=2cs2α=62，
所以cs2α=64.
又因为α∈0,π4，所以sin2α=104，
f3π8−α=2sin3π4−2α+π4
=2sinπ−2α=2sin2α=52．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三角函数中的恒等变换应用
运用诱导公式化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=sin2x+cs2x+2sinxcsx−2sin2x
=sin2x+cs2x=2sin2x+π4．
所以fx的值域为−2,2 ．
要得到y=fx的图象，可将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，
纵坐标扩大为原来的2倍，再将得到的图象向左平移π8个单位长度．
(2)fα+f−α=2sin2α+π4+2sin−2α+π4
=2cs2α=62，
所以cs2α=64.
又因为α∈0,π4，所以sin2α=104，
f3π8−α=2sin3π4−2α+π4
=2sinπ−2α=2sin2α=52．
【答案】
解：(1)由频率分布直方图可知，分数不小于80的频率为0.022+0.018×10=0.4，
故从高二学生中随机抽取1人，估计其分数小于80的概率为1−0.4=0.6.
(2)样本中分数在[40,60)的频率为1−0.022+0.028+0.022+0.018×10=0.1，
样本中分数小于50的有4人，频率为4100=0.04，
所以样本中分数在[50,60)内的频率为0.1−0.04=0.06，
因此估计该校高二学生分数在[50,60)内的人数为600×0.06=36.
(3)样本中分数不小于80的人数为100×0.4=40，
由题意，分数不小于80的文科生和理科生各有20人，
有一半文科生分数不小于80，故样本中的文科生有40人，从而理科生有60人，
因此该校高二年级文科生与理科生的人数之比为2:3.
【考点】
频率分布直方图
用频率估计概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由频率分布直方图可知，分数不小于80的频率为0.022+0.018×10=0.4，
故从高二学生中随机抽取1人，估计其分数小于80的概率为1−0.4=0.6.
(2)样本中分数在[40,60)的频率为1−0.022+0.028+0.022+0.018×10=0.1，
样本中分数小于50的有4人，频率为4100=0.04，
所以样本中分数在[50,60)内的频率为0.1−0.04=0.06，
因此估计该校高二学生分数在[50,60)内的人数为600×0.06=36.
(3)样本中分数不小于80的人数为100×0.4=40，
由题意，分数不小于80的文科生和理科生各有20人，
有一半文科生分数不小于80，故样本中的文科生有40人，从而理科生有60人，
因此该校高二年级文科生与理科生的人数之比为2:3.
【答案】
(1)证明：如图，连接AN，
则MN→=AN→=AM→，
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以AN→=12AB→+AD→，AM→=12AC→，
因此MN→=AN→−AM→=12AB→+AD→−12AC→
=12AB→+12AD→−AC→=12AB→+CD→.
(2)解：如图，以A为坐标原点，以AB→的方向为x轴正方向建立直角坐标系．
则A0,0，B6,0，C3,3,33．设Dt,33，
于是M32,332,Nt+62,332，
所以DC→=3−t,0,MN→=t+32,0.
由(1)可知MN//CD，因为DO→=4ON→，所以DC→=4MN→，
即3−t=4×t+32，解得t=−1，
于是D−1,33，BD→=−7,33，AC→=3,33，
因此，AC→⋅BD→=−7×3+33×33=6 .
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量的综合题
平面向量数量积坐标表示的应用
平面向量坐标表示的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，连接AN，
则MN→=AN→=AM→，
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以AN→=12AB→+AD→，AM→=12AC→，
因此MN→=AN→−AM→=12AB→+AD→−12AC→
=12AB→+12AD→−AC→=12AB→+CD→.
(2)解：如图，以A为坐标原点，以AB→的方向为x轴正方向建立直角坐标系．
则A0,0，B6,0，C3,3,33．设Dt,33，
于是M32,332,Nt+62,332，
所以DC→=3−t,0,MN→=t+32,0.
由(1)可知MN//CD，因为DO→=4ON→，所以DC→=4MN→，
即3−t=4×t+32，解得t=−1，
于是D−1,33，BD→=−7,33，AC→=3,33，
因此，AC→⋅BD→=−7×3+33×33=6 .
【答案】
解：(1)由函数图象最高点的纵坐标为2知，A=2，
将点0,1代入函数的解析式中，得csφ=12.
又0<φ<π，故φ=π3.
将点−23,2代入fx的解析式中，得cs−23ω+π3=1，
所以−23ω+π3=2kπ,k∈Z，
即ω=−3kπ+π2,k∈Z.
又由1<ω<2，从而ω=π2，
所以f(x)=2cs(π2x+π3).
(2)令π2x+π3=kπ,k∈Z，则取k=1得，Q43,−2；
取k=2得，P103,2，
所以m=OP→⋅OQ→=43×103−2×2=49，
于是gx=4cs2x+4ncsx−3=8cs2x+4ncsx−7.
当x∈−π6,2π3时，设t=csx，则t∈−12,1
于是gx=ℎt=8t2+4nt−7，t∈−12,1 ，
当−n4≤−12，即n≥2时，ℎt单调递增，
由ℎ−12=−8，得n=32，矛盾；
当−12<−n4<1，即−4由ℎ−n4=−8，得n=±2；
当−n4≥1，即n≤−4时，ℎt单调递减，
由ℎ1=−8，得n=−94，矛盾．
所以实数n的值为±2.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
余弦函数的定义域和值域
余弦函数的图象
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由函数图象最高点的纵坐标为2知，A=2，
将点0,1代入函数的解析式中，得csφ=12.
又0<φ<π，故φ=π3.
将点−23,2代入fx的解析式中，得cs−23ω+π3=1，
所以−23ω+π3=2kπ,k∈Z，
即ω=−3kπ+π2,k∈Z.
又由1<ω<2，从而ω=π2，
所以f(x)=2cs(π2x+π3).
(2)令π2x+π3=kπ,k∈Z，则取k=1得，Q43,−2；
取k=2得，P103,2，
所以m=OP→⋅OQ→=43×103−2×2=49，
于是gx=4cs2x+4ncsx−3=8cs2x+4ncsx−7.
当x∈−π6,2π3时，设t=csx，则t∈−12,1
于是gx=ℎt=8t2+4nt−7，t∈−12,1 ，
当−n4≤−12，即n≥2时，ℎt单调递增，
由ℎ−12=−8，得n=32，矛盾；
当−12<−n4<1，即−4由ℎ−n4=−8，得n=±2；
当−n4≥1，即n≤−4时，ℎt单调递减，
由ℎ1=−8，得n=−94，矛盾．
所以实数n的值为±2.月份x
1
2
3
4
5
月销售额y/万元
16
25
37
55
75