2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列各式中值为12的是( )
A.sin230∘+cs230∘B.sin230∘−cs230∘
C.2sin30∘cs30∘D.2cs230∘−1

2. 已知扇形的周长为8，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ）
A.2B.4C.6D.8

3. 已知α∈[0,2π)，直线l1：xsinα−2y+5=0与l2：3x+4−2sinαy+1=0平行，则α=( )
A.3π2B.5π4C.5π6D.π2

4. 已知角α的终边经过点P−32,2tan5π4，则csα的值为（ ）
A.−35B.35C.−45D.45

5. 已知a=2021sin1，b=lg2021sin1，c=sin1，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
6. 已知平面向量a→=(1,2)，|b→|=3，a→⋅b→=6，则向量a→，b→夹角的余弦值为（ ）
A.25B.55C.45D.255

7. 在△ABC中，点E，F分别在边BC和AC上，且BE=EC，AF=2FC，则EF→=( )
A.−12AB→+16AC→B.12AB→+16AC→
C.−16AB→+12AC→D.16AB→+12AC→

8. 函数fx=4x3csx2x−sinx的部分图象大致是（ ）
A.B.
C.D.

9. 已知函数fx=23sinxcsx+cs2x+2m，若x∈0,π2时，fx的最小值为5，则m=( )
A.2B.3C.4D.5

10. 已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120∘，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则|AE→+2AF→|=（ ）
A.13B.17C.43D.221

11. 已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图，则fx在区间−π,0上零点的个数为( )

A.0B.1C.2D.3

12. 已知函数fx=cs|x|−|csx|，则下列结论中正确的个数为（ ）
①fx为偶函数；②fx的一个周期为π；③fx在π2,π上单调递减；④fx的值域为[−2,0]．
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

已知向量a→=(−3,4)，b→=(1,−3)，若−a→+2b→与c→=−2,m垂直，则m的值为________．

已知α，β∈0,π2，csα+β=−35，sinα−π3=−513，则sinβ+π3=________．

将函数fx=2cs2x+π6的图象向右平移π4个单位长度，得到gx的图象，记fx与gx的图象在y轴的右侧的所有公共点为xi,yii∈N∗，则xi的最小值为________ .

在平面四边形ABCD中，∠BAD=5π6，∠BAC=π6，AB=3，AD=2，AC=4．若AC→=λAB→+μAD→，则λ+μ=________ .
三、解答题

已知tanα−π4=12．
(1)求tanα的值；

(2)求cs2α−1sin2α−1的值．

已知向量a→=3csθ,sinθ，θ∈−π2,π2，向量b→=3,−13．
(1)若a→//b→，求θ的值；

(2)若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．

如图，半圆O的直径AB=4，P，Q为半圆弧上的两个三等分点．

(1)求向量AQ→在向量PA→上的投影；

(2)求AB→⋅AP→+AQ→．

主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线fx=Asin2π3x−φA>0,0≤φ<π2的振幅为2，且经过点(1,2).

(1)求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式gx；

(2)试探究gt+gt+1+gt+2是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由.

已知函数fx=Asin2x+π6+bA>0,b∈R在区间0,π2上的最大值为3，最小值为0 .
(1)求函数fx的解析式；

(2)求fx在0,π上的单调递增区间．

某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示．

(1)直接写出表格中空格处的数以及fx的解析式；

(2)将y=fx图象上所有的点向右平移θ0<θ<π个单位长度，得到y=gx的图象，若y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，求θ的值；

(3)在(2)的条件下，若对任意的0≤x1参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
无
【解答】
解：A，sin230∘+cs230∘=1；
B，sin230∘−cs230∘=−cs60∘=−12；
C，2sin30∘cs30∘=sin60∘=32；
D，2cs230∘−1=cs60∘=12.
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
无
【解答】
解：设扇形的弧长为l，半径为r．
由题意可知
2r+l=8,lr=2,
解得l=4,r=2,
由扇形面积公式可知S=12lr=12×4×2=4．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
无
【解答】
解：因为直线l1：xsinα−2y+5=0与
l2：3x+4−2sinαy+1=0平行，
所以sinα4−2sinα+6=0，
解得sinα=−1或sinα=3（舍去）.
因为α∈[0,2π)，
所以α=3π2．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
任意角的概念
诱导公式
任意角的三角函数
象限角、轴线角
【解析】
无
【解答】
解：2tan5π4=2tanπ4=2，P−32,2，
所以csα=xr=−32−322+22=−35．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：因为0所以2021sin1>1，lg2021sin1<0，
所以b故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
【解答】
解：cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→||b→|=635=255．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
命题意图本题考查平面向量的线性运算 .
【解答】
解：EF→=BF→−BE→
=BA→+AF→−12BC→
=BA→+AF→−12(AC→−AB→)
=BA→+23AC→−12AC→+12AB→
=−12AB→+16AC→.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
三角函数的图象
函数奇偶性的判断
函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：因为fx=4x3csx2x−sinxx≠0，
所以f−x=4−x3cs−x2−x−sin−x=4x3csx2x−sinx=fx，
所以fx是偶函数，
所以函数图象关于y轴对称，
又当x∈0,π2时，fx>0，
故排除选项A，B，D，
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：f(x)=3sin2x+cs2x+2m=2sin(2x+π6)+2m，
当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，
所以sin2x+π6的最小值为−12，
所以函数fx的最小值为2m−1，
所以2m−1=5，
因此m=3．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的模
【解析】
无
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系．
由菱形ABCD的边长为4且∠BAD=120∘，
可知OC=2，OB=23，
C(0,2)，E(3,1)，F(−3,1)，A(0,−2)，
AE→=(3,3)，AF→=(−3,3)，
|AE→+2AF→|=(−3)2+92=221．
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
三角函数的最值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
无
【解答】
解：由图可知34T=5π6−π12=3π4，
所以T=π，
所以ω=2ππ=2．
因为f(π12)=0，
所以2×π12+φ=2kπk∈Z，
所以φ=2kπ−π6k∈Z.
又因为|φ|<π2，
所以φ=−π6，
所以fx=Asin2x−π6．
令2x−π6=kπk∈Z，得x=kπ2+π12k∈Z，
在−π,0内的零点有−11π12和−5π12．
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
余弦函数的单调性
复合三角函数的单调性
余弦函数的奇偶性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
命题意图本题考查三角函数的性质．
【解答】
解：由条件易知f−x=fx，所以fx为偶函数，①正确；
因为f0=0，fπ=−2，f0≠fπ，故π不是fx的周期，②错误；
当x∈π2,π时，csx∈−1,0，所以|csx|=−csx，fx=2csx，
从而可知fx在π2,π上单调递减，③正确；
当x∈0,π2∪3π2,2π时，|csx|=csx，所以fx=0，
当x∈π2,3π2时，|csx|=−csx，fx=2csx∈−2,0，
又易知2π是fx的周期，故fx的值域为−2,0，④正确．
综上所述，正确的结论为①③④．
故选C.
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：因为a→=(−3,4)，b→=(1,−3)，
所以−a→+2b→=−−3,4+21,−3=5,−10.
因为−a→+2b→与c→=−2,m垂直，
所以5×−2−10m=0，
解得m=−1.
故答案为：−1．
【答案】
3365
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】

【解答】
解：因为α，β∈0,π2，
所以sin(α+β)=45，csα−π3=1213，
所以sinβ+π3=sinα+β−α−π3
=45×1213−35×513
=3365 .
故答案为：3365 .
【答案】
π24
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三角函数的图象
【解析】

【解答】
解：由题意g(x)=2cs2x−π4+π6
=2cs2x+π6−π2
=2sin2x+π6，
由2cs2x+π6=2sin2x+π6，
得tan2x+π6=1，
所以2x+π6=kπ+π4k∈Z，即x=kπ2+π24k∈Z，
当k=0时，x取得最小值π24 .
故答案为：π24 .
【答案】
6
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
【解析】

【解答】
解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A0,0，B3,0，D(−3,1)，C(23,2)，
则AC→=(23,2)，AB→=(3,0)，AD→=(−3,1)，
由条件可知3λ−3μ=23，μ=2，
解得λ=4，μ=2，
因此λ+μ=6 .
故答案为：6 .
三、解答题
【答案】
解：(1)tanα−π4=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=tanα−11+tanα=12，
解得tanα=3．
(2)cs2α−1sin2α−1=1−2sin2α−12sinαcsα−sin2α−cs2α=−2sin2α2sinαcsα−sin2α−cs2α，
分子分母同时除以cs2α，可得
原式=−2tan2α2tanα−tan2α−1=−2×322×3−32−1=92．
【考点】
两角和与差的正切公式
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)tanα−π4=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=tanα−11+tanα=12，
解得tanα=3．
(2)cs2α−1sin2α−1=1−2sin2α−12sinαcsα−sin2α−cs2α=−2sin2α2sinαcsα−sin2α−cs2α，
分子分母同时除以cs2α，可得
原式=−2tan2α2tanα−tan2α−1=−2×322×3−32−1=92．
【答案】
解：(1)因为a→//b→，a→=3csθ,sinθ，b→=3,−13，
所以−csθ−3sinθ=0，
解得tanθ=−33，
又θ∈−π2,π2，
所以θ=−π6．
(2)若θ=π6，则a→=3csθ,sinθ=332,12，
所以a→⋅b→=332×3−13×12=133.
设a→，b→的夹角为α，
因为|a→|=3322+122=7，
|b→|=3+19=273，
所以csα=133273×7=1314.
【考点】
平行向量的性质
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的坐标运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为a→//b→，a→=3csθ,sinθ，b→=3,−13，
所以−csθ−3sinθ=0，
解得tanθ=−33，
又θ∈−π2,π2，
所以θ=−π6．
(2)若θ=π6，则a→=3csθ,sinθ=332,12，
所以a→⋅b→=332×3−13×12=133.
设a→，b→的夹角为α，
因为|a→|=3322+122=7，
|b→|=3+19=273，
所以csα=133273×7=1314.
【答案】
解：(1)由题可得∠PAQ=∠BAQ=30∘，
如图，连接BQ，则∠AQB=90∘，
在Rt△ABQ中，AB=4，所以AQ=23，
所以向量AQ→在向量PA→上的投影为|AQ→|cs150∘=23×−32=−3．
(2)如图，连接OP，OQ，因为P，Q为半圆弧上的两个三等分点，
所以∠AOP=∠POQ=∠QOB=60∘，OP=OQ=OA=2，
AB→⋅AP→+AQ→=−2OA→⋅OP→−OA→+OQ→−OA→
=−2OA→⋅OP→−2OA→⋅OQ→+4OA→2
=−2|OA→|2cs60∘+cs120∘+4×4=16．
【考点】
向量的投影
平面向量数量积的运算
【解析】
本题考查平面向量的数量积运算．
【解答】
解：(1)由题可得∠PAQ=∠BAQ=30∘，
如图，连接BQ，则∠AQB=90∘，
在Rt△ABQ中，AB=4，所以AQ=23，
所以向量AQ→在向量PA→上的投影为|AQ→|cs150∘=23×−32=−3．
(2)如图，连接OP，OQ，因为P，Q为半圆弧上的两个三等分点，
所以∠AOP=∠POQ=∠QOB=60∘，OP=OQ=OA=2，
AB→⋅AP→+AQ→=−2OA→⋅OP→−OA→+OQ→−OA→
=−2OA→⋅OP→−2OA→⋅OQ→+4OA→2
=−2|OA→|2cs60∘+cs120∘+4×4=16．
【答案】
解：(1)由振幅为2，得A=2.
又因为曲线f(x)经过点1,2，
所以2sin2π3−φ=2，
即2π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π6−2kπ(k∈Z).
因为0≤φ<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，
故gx=−2sin2π3x−π6 .
(2)因为gx=−2sin2π3x−π6，
所以gt=−2sin2π3t−π6=−3sin2π3t+cs2π3t，
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3t，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6
=3sin2π3t+cs2π3t，
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数模型的选择与应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由振幅为2，得A=2，
又因曲线经过点1,2，可知sin2π3−φ=1，
因为0≤φ<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，故gx=−2sin2π3x−π6 .
（2）gt=−2sin2π3t=π6=−3sin2π3+cs2π3．
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6=3sin2π3+cs2π3t .
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值．
【解答】
解：(1)由振幅为2，得A=2.
又因为曲线f(x)经过点1,2，
所以2sin2π3−φ=2，
即2π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π6−2kπ(k∈Z).
因为0≤φ<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，
故gx=−2sin2π3x−π6 .
(2)因为gx=−2sin2π3x−π6，
所以gt=−2sin2π3t−π6=−3sin2π3t+cs2π3t，
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3t，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6
=3sin2π3t+cs2π3t，
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值.
【答案】
解：(1)当x∈0,π2时，π6≤2x+π6≤7π6，
所以sin2x+π6∈−12,1.
又因为函数fx在区间0,π2上的最大值为3，最小值为0 . ，
所以A+b=3,−12A+b=0,解得A=2,b=1,
所以fx=2sin2x+π6+1.
(2)当x∈0,π时，π6<2x+π6<13π6
所以y=sinx在区间π6,13π6上的单调递增区间为
π6,π2和3π2,13π6．
所以π6<2x+π6≤π2或3π2≤2x+π6<13π6，
解得0所以fx在0,π上的单调递增区间为0,π6和2π3,π.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
正弦函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当x∈0,π2时，π6≤2x+π6≤7π6，
所以sin2x+π6∈−12,1.
又因为函数fx在区间0,π2上的最大值为3，最小值为0 . ，
所以A+b=3,−12A+b=0,解得A=2,b=1,
所以fx=2sin2x+π6+1.
(2)当x∈0,π时，π6<2x+π6<13π6
所以y=sinx在区间π6,13π6上的单调递增区间为
π6,π2和3π2,13π6．
所以π6<2x+π6≤π2或3π2≤2x+π6<13π6，
解得0所以fx在0,π上的单调递增区间为0,π6和2π3,π.
【答案】
解：(1)根据表格得A=2.
当x=−π3时，ωx+φ=0，即−π3ω+φ=0，
当x=2π3时，ωx+φ=π2，2π3ω+φ=π2，
所以ω=12，φ=π6，
所以f(x)的解析式为fx=2sin12x+π6，
当12x+π6=π时，解得x=5π3，
所以表格中空格处的数为5π3.
(2)由(1)得fx=2sin12x+π6，
所以gx=2sin12x−θ+π6=2sin12x−θ2+π6.
因为y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z.
因为0<θ<π，
所以θ=2π3 .
(3)由(2)知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6.
因为fx1−fx2所以fx1+gx1可知函数fx+gx在[0,t]上单调递增.
令Fx=fx+gx，
则Fx=fx+gx
=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,π]上单调递增，所以t的最大值为π.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
函数恒成立问题
【解析】
（1）表格中空格处的数为5π3，解析式为fx=2sin12x+π6 .
（2）由条件知gx=2sin12x−0+π6=2sin12x−β2+π6，
y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z，
因为0<0<π，所以θ=2π3 .
（3）由（2）知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6，
由fx1−fx2可知函数fx=fx+gx在[0,1]上单调递增，
Fx=fx+gx=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,x)上单调递增，所以t的最大值为π .
【解答】
解：(1)根据表格得A=2.
当x=−π3时，ωx+φ=0，即−π3ω+φ=0，
当x=2π3时，ωx+φ=π2，2π3ω+φ=π2，
所以ω=12，φ=π6，
所以f(x)的解析式为fx=2sin12x+π6，
当12x+π6=π时，解得x=5π3，
所以表格中空格处的数为5π3.
(2)由(1)得fx=2sin12x+π6，
所以gx=2sin12x−θ+π6=2sin12x−θ2+π6.
因为y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z.
因为0<θ<π，
所以θ=2π3 .
(3)由(2)知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6.
因为fx1−fx2所以fx1+gx1可知函数fx+gx在[0,t]上单调递增.
令Fx=fx+gx，
则Fx=fx+gx
=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,π]上单调递增，所以t的最大值为π.ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
−π3
2π3
8π3
11π3
fx
0
2
0
−2
0