专题03 导数及其应用【文科】（解析版）

专题03 导数及其应用

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：由题意得：，

在定义域上单调递减，

又，，，

.

故选：C.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，

化为：，即，；

令，（），．

令，，

函数在单调递增，，

∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，

所以

因为，

因此，，

当时；

当时；

因此最小值为1，从而，选A.

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】ACD

【解析】

解：，．

只有一个零点，

只有一个实数根，

即只有一个实数根．

令，则，

函数在上单调递减，且时，，

函数的大致图象如图所示，

所以只需关于的方程有且只有一个正实根．

①当时，方程为，解得，符合题意；

②当时，方程为，解得或，不符合题意；

③当时，方程为，得，只有，符合题意．

④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．

三、填空题

1. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________．

【答案】4或

【解析】

设直线与曲线相切于点，

由，得，所以切点坐标为，

所以直线l的方程为．

又由直线l与曲线相切，联立方程，消去y得：，

化简得，

因为直线l与曲线也相切，所以

解得或．

故答案为：4或.

四、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.

（1）定义的导函数为，的导函数为，，以此类推，若，求函数的单调区间；

（2）若，，证明：.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意知，，，，，，

所以函数的周期是，

所以.

因为，解得，所以，，

所以.           

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减.

综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：当时，.

令，

则，所以在区间上单调递增，，所以，

令，则，

当时，，当时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，当且仅当时取等号.

所以，，等号不同时成立，

故.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.

【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.

【解析】

解：（1），

当时，，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，令，得或，

所以的单调递增区间为和

令，得，

所以的单调递减区间为.

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）由题意得.

因为函数在处取得最大值，

所以，

即，

当时，显然成立.

当时，得，

即.

令，则，

恒成立，所以 是增函数，，

所以，即，

所以a的取值范围为.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．

（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；

（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）

（ⅰ）当时，求的弹性区间D；

（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

（1）由，可得，

则，

令，解得，

所以弹性函数的零点为.

（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，

因为，

函数是弹性函数，

此不等式等价于下面两个不等式组：

（Ⅰ） 或（Ⅱ），

因为①对应的函数就是，

由，所以在定义域上单调递增，

又由，所以①的解为；

由可得，

且在上恒为正，

则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，

于是不等式组（Ⅰ）的解为，

同①的解法，求得③的解为；

因为时，④，所以不成立，

所以不等式（Ⅱ）无实数解，

综上，函数的弹性区间.

（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，

设，则，

而，

由（ⅰ）可知，在上恒为正，

所以，函数在上单调递增，所以，

所以，即实数的取值范围是.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知函数.

（1）若在定义域内为增函数，求m的取值范围；

（2）设，当时，若，求m的值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）的定义域为，，

若在定义域内为增函数，则在上恒成立，

即在上恒成立，

而，

所以，即m的取值范围为；

（2）.

令，则.

因为，令，解得，即在上单调递增，

令，解得，即在上单调递减，

所以，

要使在定义域内恒成立，即，

即，

令(其中)，.

当时，，当时，，

所以，所以，

要使，只能取，即，

综上所述，m的值为2.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.

【解析】

(1)函数定义域为，且，

令，得，，

当时，，函数在定义域单调递减；

当时，由，得；由，得或，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.

综上所述，

当时，在定义域单调递减；

当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.

(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.

问题等价于：对任意的，恒有成立，即.

因为，则，∴，

设，则当时，取得最小值，

所以，实数的取值范围是.

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.

（1）若关于x的不等式对任意的正数x恒成立，求实数a的取值范围.

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）解：，

由，得对任意的正数x恒成立.

解法一：

即对任意的正数恒成立，

令，只需.

则，

当时，在区间上单调递增，

当时，在区间上单调递减.

所以.

所以，即实数a的取值范围为.

解法二：

令，

则.

当时，在区间上单调递减，

当时，在区间上单调递增，

所以，

所以，即.

所以实数a的取值范围为.

（2）证明：由（1）知，当时，对任意的正数x恒成立，即，当时等号成立.

令，则.

所以，，

累加，得

，

即.

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）在区间上，是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）存在，最大值为，最小值为.

【解析】

解：（1）由题意得函数的定义域为，     

则，

令，得．

因为，所以．

当x在定义域上变化时，的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．           

（2）令，得，

则a是函数的唯一零点．           

因为，

所以，所以．

当时，；当时，．           

由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，     

所以在区间上的最大值为，最小值为，其中．