专题03 导数及其应用【理科】（解析版）

专题03 导数及其应用

一、单选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】设，则，，，即在上单调递减，

，即，即，故选项A不正确；，即，

即，故选项D不正确；，即，即．故选项B不正确；故选：C．

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设 ，由题意知，，则，

C在点M处的切线，所以

所以 ，则，

将代入的方程可得，即

抛物线的准线方程为：

则.设与曲线C的切点为，

则，解得或（舍去），

则，所以的方程为.

故选：D

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数，直线分别交函数和的图象于点A和点B.若对任意都有成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，直线分别交函数和的图象于点A和点B，故

设，则问题可以转化为在区间内.

因为，所以在上单调递增，故.

因为，其对称轴，所以在区间上， 即，所以，即.

故选：D.

二、填空题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设函数满足，且，若不等式恒成立，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

由，得，

所以，

令，则，

当时，在区间上是减函数；当时，在区间上是增函数，

所以，所以.

因为对恒成立，所以a的取值范围是.

故答案为：

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.

【答案】

【解析】

，，

设，，

设，，

即在是减函数，又，

当时，，即，

当时，，即，

在为增函数，在为减函数，

当时，，，

关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，

由上可知，

实数的取值范围为.

故答案为：.

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知抛物线，其准线与轴交于点，则过点的抛物线的切线方程为___________.

【答案】或

【解析】

由题意知，抛物线的准线方程为，所以，

由得，所以

设切点坐标为则切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过点，所以，解得，

当时，，切线方程为；

当时，，切线方程为.

故答案为：或.

三、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数，且曲线在处的切线斜率为.

（1）求实数的值；

（2）证明：当时，；

（3）若数列满足，且，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1），

因为曲线在处的切线斜率为，

所以，得.

（2）证明：将代入得，若，

则只需证明：在上恒成立即可.

令，则，

令，则在恒成立，

所以在上递增，又，

即在上恒成立，

所以在上单调递增；

又，所以在上恒成立，

即在上恒成立.

（3）证明：由（2）可知，当时，，

因为，所以，

设，则，

所以.

要证：，只需证，

因为，所以，

又，

所以，则；

故只需证：，即证.

令，

只需证当时，，

则，

令，则

则在上单调递增，又，

所以在上恒成立，即在上递增，

又，所以在上恒成立，

所以在上递增，又，

所以当时，

所以原不等式成立.

2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.

（1）当时，证明：有解；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2），．

【解析】（1）证明：当时，，

则.           

令，           

则.           

又，

所以，使得.           

当时，单调递增；

当时单调递减.

所以，

所以有解.           

（2）解：对任意，不等式恒成立，即恒成立，

即恒成立.           

令，上式即为，

因为，所以为R上的增函数，

所以，

所以.           

易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，     

所以在区间上的最小值为e，

所以，即实数a的取值范围是.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）极小值0，无极大值；（Ⅱ）.

【解析】当时，

则，

令

解得(舍去)，.

当时，

在上单调递减；

当时，

在上单调递增，的极小值为，无极大值.

若在上恒成立，

即在上恒成立.

构造函数，

则

令.

若可知恒成立.

在上单调递增.

.

当即时，

在上恒成立，即在上恒成立.

在上恒成立，满足条件.

当即时，

，

存在唯一的使得.

当时，即

在单调递减.

，这与矛盾.

若由

可得(舍去)，

易知在上单调递减.

在上恒成立，

即在上恒成立.

在上单调递减.

在上恒成立，这与矛盾.

综上，实数的取值范围为.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】设函数．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）依题意，知的定义城为，

当时，，

，令，解得.

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

所以的极大值为，此即为最大值.

（2），则有，在上恒成立，

所以，.

当时，取得最大值，所以.

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一正实数解，

设，则，令，，

因为，，所以（舍去），，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

故时，，取最小值

因为有唯一正实数解，所以，

则即

所以，因为，所以.

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，

因为，所以方程（*）的解为，即，解得.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数，（其中是自然对数的底数），，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）．

【解析】（1）因为，所以.

令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

所以，又因为，，

所以，在定义域上单调递增.

（2）由得，即，

所以，即对任意恒成立，  

设，则

所以，当时，，函数单调递增，

且当时，，当时，，

若，则，

若，因为，且在上单调递增，所以，

综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.

设，，则，所以在单调递增，

所以，即a的取值范围为．

7. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知函数．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）证明：（ⅰ）；

（ⅱ），．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析．

【解析】（1）的定义域为，

，，，

所以在处的切线方程为，即．

（2）证明：（ⅰ）可化为．

设，则，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

故．

设，则，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

故．

因为，所以，所以．

（ⅱ）由，得，

令，，得，即，

所以．

所以，所以．

8. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知函数．

（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的图象与轴相切？若存在，求满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，实数.

【解析】（1）∵在上单调递增，

∴在上恒成立，

即，

易知在上为增函数，∴，

∴，即实数的取值范围是.

（2）存在，理由如下，

，设，

∴

，

令，解得或，

当，即时，由，得；由，得，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴，解得（舍去）.

当，即时，∵函数的图象与轴相切，∴或，

由，解得；当时，可得，

设，则，，即，

设，∴，

再令，∴，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

∴，∴，∴在上单调递增，

∵，

∴存在，使得，即，得，

综上所述，存在实数，使得函数的图象与轴相切．

9. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】设函数，.

（1）若，，试判断函数的极值点个数；

（2）设，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）由题意得

则

①当时，

当时单调递增，当时单调递减.

所以在处取到极大值，有唯一的极大值点

②当时，极值点的个数与关于的方程的正实数根有关，

即与函数与函数的图象的交点个数有关.

令则

所以在区间上单调递增

结合图象知，（i）当时恒成立，

当时单调递增，当时单调递减.

所以在处取到极大值，有唯一的极大值点；

（ii）当时，存在唯一的，使得

若则方程1)有两个相等的实数根

当时单调递减，当时单调递减，

所以没有极值.

若则方程有两个不相等的实数根1和

此时有两个极值点.

综上，当时，函数有一个极值点，当且时函数有两个极值点，当时，函数无极值点；

（2）由题意知恒成立即恒成立，

等价于.令

则，令，易知在区间上单调递增，

当时，当时，

所以在区间(0，1)上存在唯一的零点且，

在区间上，单调递减，在区间上单调递增，

所以.

又因为所以即.

令，所以在区间上单调递增，

所以即所以，

所以，即

10. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.

（1）求的单调区间.

（2）若在区间上不单调，证明：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）解：由题意，，

令.

①当时，，此时，

函数在R上单调递减；

②当时，，令，则，，

当时，，所以单调递减，

当时，，所以单调递增，

当时，，所以单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；

当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.

（2）证明：由（1）知，

因为，所以，得，

要证，只需证.

对于函数，有.

因为在R上单调递增，且，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，即不等式恒成立，

当且仅当时“=”成立，

故当时，，即①.

因为且，所以，

可得，所以②.

由①+②得，，

故得证.

11. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）由题意知函数的定义域为，

因为，

所以．           

①当时，在区间上恒成立，

所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．     

②当时，

令，得，

令，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．     

（2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，

即函数有两个零点．

又，     

令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，

所以只需函数有两个零点．     

令，得，

令，则，           

易知当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，取得最大值．     

又因为当时，，当时，，

，则函数的图象如图所示，

所以当，即时，函数有两个零点．

所以实数m的取值范围为