专题04 立体几何【理科】（解析版）

这是一份专题04 立体几何【理科】（解析版），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题04 立体几何
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接交平面于点，延长线段至点，使得，连接、、，如下图所示：

已知在正方体中，底面，平面，，
又四边形为正方形，所以，，
，平面，平面，，
同理，，平面，
三棱锥的体积为，
，，
可得，
所以，线段的长被平面与平面三等分，且与两平面分别垂直，
而正方体的棱长为，所以，，如下图所示：

其中，不妨设，由题意可，
所以，，可得，
所以，点在平面内以点为圆心，半径为的圆上.
因为，所以，直线与直线的夹角即为直线与直线所成角.
接下来要求出线段与的长，然后在中利用余弦定理求解.
如图，过点作平面于点，过点作于点，连接，

根据题意可知，，且，
所以，，.
如图所示，，当点在处时，最大，当点在处时，最小.

这两种情况下直线与直线夹角的余弦值最大，为；
当点在点处时，为直角，此时余弦值最小为.
综上所述，直线与直线所成角的余弦值的取值范围是.
故选：A.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】某市在文化广场举办“爱我家乡，知我家乡”活动，需要对广场内的部分休闲石凳进行更换.为响应“厉行节约”的号召，市政公司打算旧物利用，将旧石凳打磨成球体，放置在附近的喷泉池中.已知旧石凳是由棱长为40 cm的正方体经各棱中点切割下八个相同的四面体所得，如图所示.则打磨后的球体半径的最大值为（ ）

A．20cm B．cm C．cm D． cm
【答案】A
【解析】
由对称性可知，该球体的球心与正方体的中心重合.
旧石凳相对的面共有两类，一类是正方形，一类是等边三角形.
若相对的面为正方形，则两个面之间的距离为；若相对的面为等边三角形，则两个面之间的距离为，所以正方体的内切球即为旧石凳打磨后的最大球体，所以打磨后的球体半径的最大值为.
故选：A
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是（　　）

A．36 B．32 C．28 D．24
【答案】D
【解析】
几何体是一个正四棱柱挖去个圆柱的几何体，如图所示．正四棱柱的底面边长为2，高为3，圆柱的底面半径为2，所以该几何体的表面积为．

故选：D
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为，
底面积为，所以，该正四棱锥的侧面积为，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为，则有，所以，，设内切球的半径为，则如图，
与相似，有，所以，，由于，
化简得，，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为
故选：B

5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若．则面积的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【解析】
如图，取的中点为E，易知．
取的中点，则在正方形中，,
则，则可得，即，所以点的轨迹为线段．
因为平面，平面，则，
所以为直角三角形，当时，取最小值为，
此时面积最小，最小值为．
故选：B

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，，则
【答案】D
【解析】
对于A中，如图所示，在长方体中，
平面平面，平面，平面，
但与不平行，故错误；
对于B中，如图所示，平面，平面，，
但平面与平面不平行，故错误；
对于C中，如图所示，平面平面，平面且，但平面与平面不互相垂直，故错误；
对于D中，由平面与平面垂直的性质定理，得，又由，所以，
所以正确.
故选：D.

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在菱形中，，将沿对角线折起使得二面角的大小为60°，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取的中点记为O，连接，，根据题意需要找到外接球的球心，
取上离O点近的三等分点记为E，同理取上离O点近的三等分点记为F，
自这两点分别作平面、平面的垂线，交于点P，
则P就是外接球的球心，连接，，

由菱形的性质得就是二面角的平面角，
所以是边长为的等边三角形，所以.
在中，，
所以.又，
所以.
故选：A.
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设该四棱锥为，则由题意可知四棱锥的底面为矩形，
平面平面，且，如图，过点P作交于点，则平面，连接，
可知为直线与平面所成的角，
则，，
所以．

故选：C.
9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
设球的半径为，由球的体积为可得，，解得．
因为三棱锥的高为1，所以球心在三棱锥外．
如图，设点为的外心，则平面．
在△中，由，且，得．
因为为等边三角形，所以，
所以．
故选：．

二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）

A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知为中点，当的和最小时，为的中点
【答案】AC
【解析】
对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，

平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，平面，，
四边形是正方形，则，，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，

易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，点，，

平面，平面，，即，得，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，
而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：

若最短，则、、三点共线，
，，
，所以，点不是棱的中点，D选项错误.
故选：AC.
2. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（ ）

A．AC ⊥BE
B．EF//平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF面积相等
D．三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】ABD
【解析】

由于，，故平面，所以，所以A正确；
由于， 平面，平面，所以平面，故B正确；
由于三角形和三角形的底边都是，而前者是到的距离，
即的长为1，而后前者是到的距离，作垂直于底面，垂足为，所以，连接，由于在中，是斜边，即，
故C错误；
连结BD交AC于O，由于平面，所以平面，，因为，三棱锥A-BEF的体积为为定值，故三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】在空间直角坐标系中，正四面体的顶点，分别在轴，轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
如图所示，若固定正四面体位置，设为的中点，因为，则原点在以为直径的球上运动，，
则的最大值为加上球半径，最小值为减去球半径，
所以，
故答案为：．

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．
【答案】．
【解析】
如图，

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上．在面上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，则．
同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条．
在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为．这样的弧也有三条．
于是，所得的曲线长，
故答案为：．
3. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】在三棱锥中，，，，二面角的大小为，在侧面内（含边界）有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则的轨迹的长度为______．
【答案】
【解析】
如图，过作于，平面于，
过作于，连接，

则为二面角的平面角，
由得．
又，所以，
在中，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以直线与的交点坐标为，
所以的轨迹为线段，长度为．
故答案为：.
4. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知四棱锥的底面为正方形，，，若四棱锥的体积为，则以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为___________，该四棱锥外接球的体积为___________.(参考数据).
【答案】
【解析】
解：如图，连接，交于，连接，
由底面为正方形，且，得底面，
可得为四棱锥的高，
，又四棱锥的体积为，，即．
，则，
取中点，连接，则，可得，即，
则，，
以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为；
设四棱锥外接球的球心为，半径为，连接，
在中，可得，
即，解得．
该四棱锥外接球的体积为．
故答案为：，．

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在长方体中，，E为棱上任意一点，给出下列四个结论：
①与不垂直；
②长方体外接球的表面积最小为；
③E到平面的距离的最大值为；
④长方体的表面积的最大值为6．
其中所有正确结论的序号为__________．
【答案】②③④
【解析】
对于①，当长方体为正方体时，，故①错误；对于②，如图，设，则，所以，当时，的最小值为，即长方体外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为，故②正确；对于③，设点E到平面的距离为h，如图，由可得，所以由②可知，，其中，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为，当时，S的最大值为6，故④正确．
故答案为：②③④


四、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明二面角为直二面角，
所以平面平面，
因为，，
平面平面，平面，
平面，又平面，
，
，，
又为的中点，，
又，平面，
平面，平面平面.
（2）如图，

连接，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，
，，
，，，，，
，，
设平面的法向量为，
即令，则，，
是平面的一个法向量，
平面，平面的一个法向量为，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的大小为.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）如图，连接并延长交的延长线于点G，连接.

因为底面为菱形，F为的中点，
所以，即为的中点，
又E为的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）设的中点为O，连接.
因为，所以.
因为O，F分别为的中点，所以.
因为，所以.
因为，平面平面，
所以平面，
所以三条直线两两垂直.
以O为坐标原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，所以.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，所以.
所以，
所以二面角的余弦值为.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】如图①，平行四边形中，为的中点，，，，连接，将沿折起，得到四棱锥，如图②，点在线段上，若平面.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）证明：连接交于，连接，作图如下：

因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
又因为//，且，所以，
所以，
故，即证.
（2）取的中点，连接，过作交于.
由图（1）得：，，所以就是二面角的平面角，
所以，
又因为，所以为等边三角形，所以.
又，所以平面，因为，所以平面，
所以，，两两互相垂直，
以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，得.
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，得.
设平面与平面夹角为，.
平面与平面夹角的余弦值为.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
解：（1）取中点，连结，.


∵，是，的中点，
∴，且.
∵，，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴为平行四边形，
∴.
又平面，且平面，
∴平面；
（2）取中点，连接，取的中点，连接，.设，
由（1）得，
∴为等边三角形，
∴，同理∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面的法向量，则，∴，
取，得，
又平面的法向量，
∴，
由图得二面角的平面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为.
5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.

（1）证明：；
（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接交于，

底面为菱形，
.
，为的中点，
.
又，平面，平面，
平面.
又平面，
.
（2）因为，为的中点，
.
又平面底面，平面底面，平面，
底面，
，，两两垂直.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

与底面所成的角即为，
.
设，则，，
，，，
，.
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，得，
又平面的一个法向量为，
.
又二面角为锐角，
二面角的余弦值为.
6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).

（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【解析】
解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM⊂平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，，为母线，平面平面为的中点，为上的任意一点.

（1）证明：；
（2）当点为线段的中点时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：过点作平面的垂线，垂足为，
如图，则是的中点，所以
又所以
连接因为，
所以为等边三角形.
因为点为的中点，所以
因为平面平面，
平面平面且
平面
所以平面
因为平面所以.
又因为平面平面，
所以平面
因为平面所以

（2）解：以为坐标原点，OA，OB，OO所在直线分别为轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即
取得，
所以
因为平面，
所以平面的一个法向量为
所以
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，四边形是菱形，平面.

（1）证明：P，E，C，G四点共面.
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）
证明：如图，取的中点M，连接.
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
由题意知，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以
所以四边形是平行四边形，
所以P，E，C，G四点共面.
（2）解：因为平面，，
所以平面.
在中，由余弦定理得
，

所以，所以.
以A为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则设平面的法向量为，
则即
令，得所以.
设平面的法向量为，
则即
令，得所以.
设二面角的平面角为，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.
9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】如图，两个全等的梯形与所在的平面互相垂直，，P为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）如图所示，取的中点Q，连接，
因为P，Q为的中点，所以，且．
又因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又由平面，平面，所以平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由，
以B为原点，以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
可得
设平面的一个法向量为，则，即，
令，可得，
又由平面的一个法向量为，
所以．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．